Cua d'una distribució de probabilitat

En teoria de probabilitats i en estadística, la cua d'una distribució de probabilitat és el comportament de la distribució de probabilitat a l'àrea lluny del seu valor central.

En un vocabulari més estadístic, és habitual parlar de cua d'una distribució.

Història i relació amb la curtosi

La cua d'una distribució està lligada a la seva curtosi. Aquest coeficient de curtosi dóna la concentració dels valors al voltant del valor central de la distribució i per tant la concentració dels valors extrems, és a dir, lluny de la mediana. Per a la curtosi zero, es diu que la corba es mesocúrtica i és equivalent a la de la distribució normal. Per a la curtosi negativa, es diu que la corba és platicúrtica i la cua és lleugera (de fet, més lleugera que la distribució normal); mentre que per a una curtosi positiva es diu que la corba és leptocúrtica i la cua és pesada (més pesada que la distribució normal).

• 
  Corba leptocúrtica (curtosi positiu)
• 
  Corba mesocúrtica (curtosi zero)
• 
  Corba platicúrtica (curtosi negatiu

L'any 1908, com a dispositiu mnemotècnic, William Gosset va dibuixar dos dibuixos amb un ornitorrinc per a les corbes platicúrtiques i dos cangurs per a les corbes leptocúrtiques. El terme cua (tail en anglès) prové de les cues d'aquests dos animals.

Definicions

Considereu una llei de probabilitat $\mathbb {P}$, la funció de distribució del qual ve donada per$F(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$.

La «funció de cua» de la distribució $\mathbb {P}$ és la funció ${\bar {F}}(x)=1-F(x)=\mathbb {P} (X>x)$.

La distribució $\mathbb {P}$ es diu que té una «propietat de cua» si la funció F té una propietat que només depèn del conjunt de valors $\{{\bar {F}}(x){\text{ per }}x\geq x_{0}\}$ per a tot $x_{0}$ finit.

És possible comparar les cues de dues distribucions de probabilitat. Es diu que dues lleis de les respectives funcions de distribució F i G tenen «cues equivalents» si:

${\frac {{\bar {F}}(x)}{{\bar {G}}(x)}}\rightarrow c\in ]0,\infty [$ quan $x\rightarrow +\infty$

Tipus de cues

Distribució de cua gruixuda

Es diu que una distribució de probabilitat és «cua gruixuda» o de «cua pesada» si la seva funció de distribució verifica:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\lambda x}\mathrm {d} {\overline {F}}(x)=\infty$ per a tot $\lambda >0$.

En cas contrari la distribució s'anomena de «cua fina» o de «cua lleugera».

Distribució de cua llarga

Article principal: Llarga cua

Cua llarga representada en groc

Es diu que una distribució de probabilitat té una «cua llarga» o una «cua arrossegada» si el suport de la seva funció de distribució no està acotat i si per a tot y > 0

${\frac {{\bar {F}}(x+y)}{{\bar {F}}(x)}}\rightarrow 1$ per a tot $x\rightarrow +\infty$.

Les distribucions de cua llarga són les mateixes distribucions de cua pesada.

Bibliografia

• Bellos, Alex. Alex au pays des chiffres (en francès). Éditions Robert Laffont. 
• Bogaert, Patrick. Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. Introduction au calcul des probabilités (en francès). París: Éditions De Boeck, 2006. 
• Foss, Sergey. An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions (en anglès). Springer, 2011. 
• Klüppelberg, Claudia «Subexponential Distributions and Integrated Tails» (en anglès). Journal of Applied Probability, 25(1), 1988, pàg. 132-141.