Derivada (exemples)

Vegeu derivada per informació més general.

La derivada és una funció matemàtica, més precisament una funció de funcions, ja que pren com a argument d'entrada una funció i retorna una altra funció, generalment diferent.

Exemples a partir de la definició de derivada basada en un límit

Funció constant

Sigui c un nombre real.

Es considera la funció constant f de valor c:

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {c-c}{h}}=0$

per tant

$\forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=0$.

Així la derivada d'una funció constant és la funció nul·la.

Funció potència enèsima

Sigui la funció f:

$f(x)=x^{n}\,$ definida sobre ${I}\,$

$h\not =0$

$\forall a\in {I},\forall {(a+h)}\in {I}\,$

$t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

$t(h)={\frac {(a+h)^{n}-a^{n}}{h}}$

$t(h)={\frac {(a^{n}+na^{n-1}h+p_{3}a^{n-2}h^{2}+p_{4}a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^{n}}{h}}$

On els coeficients $p_{i}$ venen donats pel triangle de Tartaglia ($p_{1}=1$ i $p_{2}=n$). Els $a^{n}$ s'anul·len, i se simplifica per $h$.

$t(h)=na^{n-1}+p_{3}a^{n-2}h+p_{4}a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,$

Per tant: $f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}t(h)=na^{n-1}$

Nota: funciona per a tot n i permet trobar les derivades de les funcions inversa i arrel enèsima. Tanmateix si n < 2 llavors la funció no és derivable en 0.

Funció quadrat

Es considera la funció f definida sobre $\mathbb {R}$ per

$\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

$={\frac {(x+h-x)(x+h+x)}{h}}={\frac {h(2x+h)}{h}}=2x+h$

per tant

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x$

la derivada de f és per tant la funció f' definida per

$\forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=2x$.

Funció arrel

Es considera la funció f=√x

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}$

$={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

$={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}$

per tant

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

D'altra banda,

$\forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=+\infty$

per tant f no és derivable en 0 i la seva gràfica admet en 0 una semi tangent vertical.

Exemples a partir de les fórmules de derivació

Heus aquí una sèrie d'exemples de derivades calculades a partir de les fórmules establertes pel mètode amb el límit.

Segon grau

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. $y=x^{2}+5x-3\,$

2. $y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,$

3. $y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,$

Derivació: 1. $y=x^{2}+5x-3\,$

$y'=(x^{2})'+(5x)'-(3)'\,$

$y'=2x+5+0\,$

$y'=2x+5\,$

2. $y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,$

$y'=(3x^{2})'-(9x)'+({\frac {2}{3}})'\,$

$y'=6x-9+0\,$

$y'=6x-9\,$

3. $y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,$

$y'=(-4x^{2})'+({\frac {4}{7}}x)'-(1)'\,$

$y'=-8x+{\frac {4}{7}}-0\,$

$y'=-8x+{\frac {4}{7}}\,$

Tercer grau

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. $y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,$

2. $y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,$

3. $y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,$

Derivades:

1. $y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,$

$y'=(2x^{3})'+(6x^{2})'-(4x)'+\left({\frac {9}{\pi }}\right)'\,$

$y'=6x^{2}+12x-4+0\,$

$y'=2(3x^{2}+6x-2)\,$

2. $y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,$

$y'=-(x^{3})'-(5x^{2})'+\left({\frac {2}{3}}x\right)'-(1)'\,$

$y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}-0\,$

$y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}\,$

3. $y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,$

$y'=\left({\frac {5}{17}}x^{3}\right)'+(x^{2})'-(2x)'+(e)'\,$

$y'={\frac {5\times 3x^{2}}{17}}+2x-2+0\,$

$y'={\frac {15x^{2}}{17}}+2x-2\,$

Funció potència real

Sia la funció y :

$y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R}$

Llavors, la derivada n-èsima de y ve donada, sobre intervals convenients, per :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}$

Viccionari