Derivada fractal

En matemàtiques aplicades i anàlisi matemàtica, la derivada fractal o derivada de Hausdorff és una generalització no newtoniana de la derivada que tracta de la mesura de fractals, definida en geometria fractal. Les derivades fractals es van crear per a l'estudi de la difusió anòmala, per la qual els enfocaments tradicionals no tenen en compte la naturalesa fractal dels mitjans. Una mesura fractal $t$ s'escala segons $t^{\alpha }$. Aquesta derivada és local, en contrast amb la derivada fraccional aplicada de manera similar. El càlcul fractal es formula com un càlcul generalitzat de l'estàndard.

Rerefons físic

Els medis porosos, els aqüífers, les turbulències i altres medis solen presentar propietats fractals. Les lleis clàssiques de difusió o dispersió basades en camins aleatoris a l'espai lliure (essencialment el mateix resultat conegut com a lleis de difusió de Fick, llei de Darcy i llei de Fourier) no són aplicables als mitjans fractals. Per abordar això, s'han de redefinir conceptes com la distància i la velocitat per als mitjans fractals; en particular, les escales d'espai i temps s'han de transformar segons ($x^{\beta }$, $t^{\alpha }$). Els conceptes físics elementals com ara la velocitat es redefineixen de la següent manera per a l'espaitemps fractal ($x^{\beta }$, $t^{\alpha }$):

$v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0$,

on $S^{\alpha ,\beta }$ representa l'espaitemps fractal amb índexs d'escala $\alpha$ i $\beta$. La definició tradicional de velocitat no té sentit en l'espaitemps fractal no diferenciable.

Definició

A partir de la discussió anterior, el concepte de derivada fractal d'una funció $u(t)$ respecte a una mesura fractal $t$ s'ha introduït de la següent manera:

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0$,

Una definició més general ve donada per

${\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0$.

Per a la funció $y(t)$ al $F^{\alpha }$-conjunt fractal perfecte $F$, la derivada fractal o $F^{\alpha }$-derivada respecte $t$, es defineix per

$D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}lim}}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&si~t\in F;\\0,&{\text{en altres casos.}}\end{array}}\right.$.

Motivació

Les derivades d'una funció $f$ es poden definir en termes dels coeficients $a_{k}$ en el desenvolupament de la sèrie de Taylor:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

D'aquest enfocament es pot obtenir directament:

$f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Això es pot generalitzar aproximant $f$ amb funcions $(x^{\alpha }-(x_{0})^{\alpha })^{k}$:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })$

nota: el coeficient d'ordre més baix encara ha de ser $b_{0}=f(x_{0})$, ja que encara és l'aproximació constant de la funció $f$ en $x_{0}$.

De nou es pot obtenir directament:

$b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})$

• La sèrie fractal Maclaurin de $f(t)$ amb suport fractal $F$ és la següent:

$f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}$

Propietats

Desenvolupament de coeficients

Igual que en el desenvolupament de la sèrie de Taylor, els coeficients $b_{k}$ es poden expressar en termes de les derivades fractals d'ordre $k$ de $f$:

$b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})$

Exemple: suposem que existeixi ${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$, $b_{k}$ es pot escriure com ${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

ara es pot utilitzar ${\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ i a partir de ${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Connexió amb la derivada

Si per a una funció donada $f$ existeixen tant la derivada ${Df}$ com la derivada fractal ${D\alpha f}$, es pot trobar un anàleg a la regla de la cadena:

${df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}$

L'últim pas està motivat pel teorema de la funció implícita que, en condicions adequades, ens dóna ${dx \over dx\alpha }={dx\alpha \over dx}-1$

De la mateixa manera per a la definició més general:

${d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Aplicació en difusió anòmala

Derivada fractal per a la funció $f(t)=t$, amb ordre de derivada α ∈ (0,1]

Com a enfocament de modelització alternativa a la segona llei de Fick clàssica, la derivada fractal s'utilitza per derivar una equació lineal de transport-difusió anòmala subjacent al procés de difusió anòmal,

${\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)$

$u(x,0)=\delta (x).$

on 0 < α < 2, 0 < β < 1, i δ(x) és la funció delta de Dirac.

Per obtenir la solució fonamental, apliquem la transformació de variables

$t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.$

aleshores l'equació (1) es converteix en l'equació de la forma de difusió normal, la solució de (1) té la forma gaussiana estirada:

$u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}$

El desplaçament quadràtic mitjà de l'equació de difusió derivada fractal anterior té la asímptota:

$\left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.$

Càlcul fractal-fraccional

La derivada fractal està connectada a la derivada clàssica si existeix la primera derivada de la funció investigada. En aquest cas,

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0$.

Tanmateix, a causa de la propietat de derivabilitat d'una integral, les derivades fraccionals són derivables, per la qual cosa es va introduir el següent concepte nou.

Els següents operadors diferencials es van introduir i aplicar molt recentment. Suposant que $y(t)$ és contínua i diferenciable fractal en $(a,b)$ amb ordre $\beta$, diverses definicions d'una derivada fractal fraccional de $y(t)$ es mantenen amb ordre $\alpha$ en el sentit de Riemann-Liouville:

• Tenir un nucli de tipus llei de potència:

$^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds$

• Tenir un nucli de tipus en decaïment exponencial:

$^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds$,

• Tenint un nucli de tipus Mittag-Leffler generalitzat:

${}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.$

Els operadors diferencials anteriors tenen cadascun associat un operador integral fractal-fraccional, de la manera següent:

• Nucli tipus llei de potència:

$^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds$

• Nucli de tipus en decaïment exponencial:

$^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}$.

• Nucli de tipus Mittag-Leffler generalitzat:

$^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}$.

FFM es refereix a fractal-fraccional amb el nucli generalitzat de Mittag-Leffler.

Càlcul fractal no local

• Anàleg fractal de la integral fraccional del costat dret de Riemann-Liouville d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t$.

• Anàleg fractal de la integral fraccional del costat esquerre de Riemann-Liouville d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.$

• Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat dret de Riemann-Liouville d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat esquerre de Riemann-Liouville d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat dret de Caputo d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

• Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat esquerre de Caputo d'ordre $\beta \in \mathbb {R}$ de $f$ es defineix per:

${a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

Bibliografia

• Atangana, Abdon; Sania, Qureshi «Modeling attractors of chaotic dynamical systems with fractal–fractional operators» (en anglès). Chaos, Solitons & Fractals, 123, 2019. Bibcode: 2019CSF...123..320A. DOI: 10.1016/j.chaos.2019.04.020.
• Chen, W. «Time–space fabric underlying anomalous diffusion» (en anglès). Chaos, Solitons and Fractals, 28(4), 2006, pàg. 923-929. arXiv: math-ph/0505023. Bibcode: 2006CSF....28..923C. DOI: 10.1016/j.chaos.2005.08.199.
• Chen, W.; Sun, H.G.; Zhang, X.; Korosak, D. «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives» (en anglès). Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 2010, pàg. 1754-1758. DOI: 10.1016/j.camwa.2009.08.020.
• Cushman, J. H.; O'Malley, D.; Park, M. «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion» (en anglès). Phys. Rev. E, 79(3), 2009, pàg. 032101. Bibcode: 2009PhRvE..79c2101C. DOI: 10.1103/PhysRevE.79.032101. PMID: 19391995.
• Khalili Golmankhaneh, Alireza. Fractal Calculus and its Applications (en anglès). Singapur: World Scientific Pub Co Inc, 2022. DOI 10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7. 
• Kanno, R. «Representation of random walk in fractal space-time» (en anglès). Physica A, 248(1), 248(2), 1998, pàg. 165-175. Bibcode: 1998PhyA..248..165K. DOI: 10.1016/S0378-4371(97)00422-6.
• Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey» (en anglès). International Journal of Differential Equations, 2010, 2010, pàg. 104505. arXiv: 1004.2950. Bibcode: 2010arXiv1004.2950M. DOI: 10.1155/2010/104505.
• Sun, H. G.; Meerschaert, M. M.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media» (en anglès). Advances in Water Resources, 52, 2013, pàg. 292-295. Bibcode: 2013AdWR...52..292S. DOI: 10.1016/j.advwatres.2012.11.005. PMC: 3686513. PMID: 23794783.

Enllaços externs

• «Power Law & Fractional Dynamics» (en anglès). Arxivat de l'original el 2012-06-14. [Consulta: 15 gener 2023].