Desigualtat de Hilbert

En anàlisi matemàtica, una branca de les matemàtiques, la desigualtat de Hilbert afirma que

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

per a qualsevol seqüència u₁,u₂,... de nombres complexos. El primer en demostar-ho va ser el matemàtic alemany David Hilbert, amb la constant 2$\pi$ en lloc de $\pi$; la constant que va trobar Issai Schur. Implica que la transformada discreta de Hilbert és un operador delimitat en ℓ₂.

Formulació

Fem que (u_m) sigui una seqüència de nombres complexos. Si la seqüència és infinita, suposem que és sumable al quadrat:

$\sum _{m}|u_{m}|^{2}<\infty$ $\pi$

La desigualtat de Hilbert (vegeu Steele, 2004) afirma que:

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

Generalitzacions

El 1973, Montgomery i Vaughan va informar de diverses generalitzacions de la desigualtat de Hilbert, tenint en compte les formes bilineals:

$\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u}}_{s}\csc \pi (x_{r}-x_{s})$

i

$\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}},$

on x₁,x₂,...,x_m són diferents nombres reals mòdul 1 (és a dir, pertanyen a classes diferents del grup quocient R/Z) i λ₁,...,λ_m són nombres reals diferents. Montgomery & Vaughan's van donar les següents generalitzacions de la desigualtat de Hilbert

$\left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq \delta ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

i

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq \pi \tau ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

on

$\delta ={\min _{r,s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|,\quad \tau =\min _{r,s}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,$

$\|s\|=\min _{m\in \mathbb {Z} }|s-m|$

és la distància de s al nombre enter més proper, i min₊ denota el valor positiu més petit. A més, si

$0<\delta _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|\quad {\text{and}}\quad 0<\tau _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,$

aleshores es mantenen les següents desigualtats:

$\left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\sum _{r}|u_{r}|^{2}\delta _{r}^{-1}.$

i

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\pi \sum _{r}|u_{r}|^{2}\tau _{r}^{-1}.$

Enllaços externs

• Godunova, E.K. «Hilbert inequality». A: Encyclopedia of Mathematics (en anglès). EMS Press, (2001) [1994].