Discussió:Sèrie de Taylor

Dipòsit de la "demostració"

Copipasto temporalment la "demostració" que, diguem, és dubtosa, ja que per començar no diu què es demostra. --Txebixev (disc.) 22:01, 29 gen 2013 (CET)

Demostració

Per demostrar la sèrie de Taylor, primer es demostra que qualsevol funció que es pugui derivar k+1 cops es pot expressar com la suma d'un polinomi de grau k més un terme complementari; després es demostra que el terme complementari tendeix a zero quan k tendeix a infinit. Així doncs, es comença per demostrar que:

$f(x)=\sum _{n=0}^{n=k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\int _{a}^{x}f^{k+1}(t){\frac {(x-t)^{k}}{k!}}dt$

La demostració es fa per inducció; per k = 0 és veritat perquè, com que:

$\int _{a}^{x}f^{'}(t)dt=f(x)-f(a)$

Resulta que:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f^{'}(t)dt$

La qual cosa és el que diu la fórmula que es vol demostrar quan se substitueix k per zero, donat que 0! = 1, ${\scriptstyle (x-a)^{0}=(x-t)^{0}=1}$ i ${\scriptstyle f^{0}(a)=f(a)}$. Si és veritat per k-1 també ho ha de ser per k.

$f(x)=\sum _{n=0}^{n=k-1}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\int _{a}^{x}f^{k}(t){\frac {(x-t)^{k-1}}{(k-1)!}}dt$

Integrant per parts l'últim terme i simplificant, s'obté la fórmula que es vol demostrar. Ja només cal observar que el terme complementari és més petit que:

${\frac {R(x-a)^{k+1}}{k!}}$

On R és un valor més gran que el màxim absolut de la derivada k-èsima de la funció f en l'interval [a,x]. Aquesta expressió tendeix a zero quan k tendeix a infinit amb l'única condició que existeixi R, és a dir, que qualsevol de les derivades enèsimes de la funció sigui finita dins de l'interval que va de a a x. Precisament, aquesta és la condició per tal que la funció sigui desenvolupable en sèrie de Taylor dins d'aquest interval.

Dipòsit d'"aplicacions"

Vaig redactar aquesta secció però prefereixo treure-la de moment, perquè no és prou acurada. S'hi pot treballar més endavant.

Aplicacions

A part de l'aplicació òbvia de la sèrie de Taylor que consisteix en utilitzar funcions polinòmiques en comptes de funcions de complexitat més elevada per tal d'analitzar el comportament local d'una funció, la sèrie de Taylor té altres aplicacions, com ara l'anàlisi de límits i els seus estudis paramètrics, l'estimació de nombres irracionals acotant el seu error, el teorema de l'Hôpital per la resolució de límits indeterminats, l'estudi de punts estacionaris en funcions (màxims o mínims relatius o punts de sella de tendència estrictament creixent o decreixent), l'estimació i avaluació d'integrals, la determinació de convergència i suma d'algunes sèries importants i l'estudi d'ordre i paràmetre principal d'infinitèsims, entre d'altres.

—el comentari anterior sense signar és fet per Arnaugir (disc. • contr.) 17:24, 29 jul 2013 (CEST)