Funció absolutament contínua

En matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real de variable real com una propietat semblant, però més forta, a la continuïtat i a la variació afitada. Una funció absolutament contínua queda caracteritzada pel fet de ser una integral indefinida de Lebesgue. Aquesta noció és important en Teoria de la mesura i en Probabilitats.

Definició

Es diu que una funció $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ és absolutament contínua si donat qualsevol $\varepsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos $(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{n},b_{n})\subset [a,b]$ tals que

$$\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta ,$$

es te que

$$\sum _{i=1}^{n}\vert f(b_{i})-f(a_{i})\vert <\varepsilon .$$

Aquesta definició s'estén al cas d'una funció $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ eliminant la condició que els diferents intervals oberts estiguin inclosos en l'interval $[a,b]$.

Propietats

Les següents propietats es troben demostrades a Royden o Natenson

Propietats de continuïtat i derivabilitat

Sigui $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ absolutament contínua. Aleshores:

1. $f$ és contínua. Veurem als exemples que hi ha funcions contínues que no són absolutament contínues.

2.$f$ té variació afitada.

3.$f$ té derivada finita en quasi tots els punts (Lebesgue) i la derivada és integrable Lebesgue.

4.Si la derivada $f'$ compleix que $f'(x)=0,{\text{quasi per tot }}x\in [a,b]$, aleshores $f$ és constant.

Relació amb les integrals indefinides de Lebesgue

Recordem que donada una funció $g:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue) de $g$ a la funció $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ definida per

$$f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt.$$

Aquesta funció $f$ és contínua, de variació afitada i derivable en quasi tots els punts i $f'(x)=g(x),\ {\text{quasi per tot }}x.$

El resultat fonamental sobre funcions absolutament contínues és que aquestes funcions coincideixen amb les integrals indefinides:

Teorema. Una funció $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ és absolutament contínua si i només si és una integral indefinida; concretament, tenim

$$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt.$$

Exemples

1. La funció de Cantor $F:[0,1]\longrightarrow [0,1]$ és contínua, amb derivada 0 en quasi tots els punts. No és absolutament contínua perquè contradiu la propietat 4 que hem vist anteriorment. Però, d'altra banda, també és clar que $F(x)\neq \int _{0}^{x}F'(t)\,dt$, ja que aquesta integral és zero. Per tant, la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua.

2. Natanson demostra que la funció

$$f(x)={\begin{cases}x\,\cos {\frac {\pi }{2x}},&{\text{si }}0<x\leq 1,\\0,&{\text{si }}x=0,\end{cases}}$$

és contínua però no té variació afitada. Per tant, no pot ser absolutament contínua. És un altre exemple de funció contínua que no és absolutament contínua.

Referències

• Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. Nova York: Springer, 2006. ISBN 0-387-32903-X. 

• Natanson, J. P.. Theory of Functions of a Real Variable. Nova York: Frederick Ungar, Publishing Co., 1964. 

• Royden, H. L.. Real analysis. 3a edició. Nova York: Macmillan, 1988. ISBN 0-02-404151-3.