![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Edit-delete-not_encyclopedic2.svg/40px-Edit-delete-not_encyclopedic2.svg.png) |
Aquest article podria incomplir els criteris generals d'admissibilitat. Milloreu-lo amb referències que demostrin que es tracta d'un tema admissible o bé podria entrar en un procés d'esborrament o fusió. |
Si
és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos
) hi ha un únic homomorfisme
|
entre les respectives estructures duals que compleix
|
Aquest homomorfisme,
, és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme
.
Existència i unicitat[modifica]
La relació
|
defineix efectivament una única forma lineal a
. En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de
és no degenerada en resulta que, si
|
pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i
. La linealitat de la forma
és, també immediata:
|
La mateixa argumentació, basada en la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre
, mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si
|
resulta
|
és a dir,
|
i
.
Les següents propietats són immediates:
![{\displaystyle \left(\lambda \varphi +\mu \psi \right)^{\ast }=\lambda \varphi ^{\ast }+\mu \psi ^{\ast }\,,\quad \lambda ,\mu \in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8ee3ece109eb939bf7aa91bd41aa586d60760f)
![{\displaystyle \left(\varphi \circ \psi \right)^{\ast }=\psi ^{\ast }\circ \varphi ^{\ast }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47459f98eb33cca13442c12e1f0a0a674a9ceb2d)
Nuclis i imatges duals[modifica]
Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat
|
|
perquè les dues formes bilineals
|
|
|
|
són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.
Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita[modifica]
Si
i
són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals
i
i els subespais
,
,
,
i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta
|
|
|
|
que, junt amb els isomorfismes
|
|
dona
|
i dues aplicacions duals,
i
tenen el mateix rang.
Matrius d'aplicacions duals[modifica]
Si
,
i
,
són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita,
i
són dos homomorfismes duals i
|
|
|
|
en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme
consisteix en les
columnes
, cadascuna amb
elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila
columna
d'aquesta matriu és:
|
D'altra banda, si convenim a disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual
consisteix en les
files
, cadascuna amb
elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila
columna
d'aquesta matriu és:
|
i, com que
, resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim a disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.
Això i que els rangs de
i de
són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.