Mètode de Descartes

El mètode de Descartes és un mètode introduït en 1637 pel matemàtic francès René Descartes en la seva obra La Géométrie, per a la resolució de l'equació de quart grau que, a diferència amb el mètode de Ferrari, tracta de factoritzar l'equació quàrtica reduïda en dos polinomis quadràtics per tal d'arribar a les solucions de l'equació original.

Estratègia general

Sigui l'equació de quart grau

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$,

s'ha de reduir a la seva forma reduïda, fent una transformació de Tschirnhaus, per tant això resulta en el següent:

$w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,$,

on

$r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$

$s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$

$t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}$

Aquesta equació de quart grau es factoritza en dos polinomis quadràtics:

$(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,$

A l'efectuar el producte i relacionar-lo amb l'equació quàrtica reduïda, obtenim el següent sistema d'equacions:

${\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}$

En aquest sistema, després de diverses operacions, obtenim una equació que aparentment és de sisè grau:

$\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0$,

que en termes d' $\alpha ^{2}$ és una equació cúbica, per tant substituïm $\alpha ^{2}$ per $y$.

$\alpha ^{2}=y\rightarrow y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0$,

que pot ser resolta pel mètode de Cardano (en cas que l'equació tingui dues o tres arrels reals, es pren la primera arrel com a primera prioritat), on $y$ ha de ser una arrel real positiva de l'equació cúbica resolvent.

Després de fer càlculs posteriors, obtenim les quatre solucions de l'equació original:

$x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

Demostració del mètode de Descartes

Donada l'equació quàrtica

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Dividim l'equació inicial per la component quàrtica, obtenint:

$x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,$

Procedim a substituir $x=w-{\frac {b}{4a}}\,$ per eliminar el terme cúbic:

$\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0$,

on

$\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=w^{4}-{\frac {bw^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}w}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}$

${\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bw^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3bw^{3}}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}$

${\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}$

${\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dw}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}$

En efecte, al desenvolupar la suma algebraica dels resultats dels productes presents, el terme $-{\frac {b}{a}}w^{3}\,$ està compensat igualment per ${\frac {b}{a}}w^{3}\,$, per la qual cosa es cancel·larà el terme $w^{3}\,$. Per tant, el resultat d'aquesta suma algebraica és:

$w^{4}+{\frac {cz^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {2b^{3}w}{16a^{3}}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {dw}{a}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0$

Indiquem factor comú en els termes amb $w$:

$w^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)w^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)w+\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)=0$

Llavors, d'acord a les definicions recentment introduïdes, escriurem l'expressió simplement com

$w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,$

on aquesta expressió és l'equació quàrtica reduïda, les components es donen per:

$r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$

$s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$

$t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}$

En aquest moment, la idea important és factoritzar l'anterior en $(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,$, acció que és possible ja que no està present el terme cúbic en el polinomi, i que al desenvolupar la multiplicació distributivament ve donada de forma explícita per les següents raons:

$w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0$.

A l'identificar l'anterior amb els termes $r$, $s$ i $t$, obtenim les següents relacions:

$\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\,$,

$\alpha (\gamma -\beta )=s\,$,

$\beta \gamma =t\,$.

Si volem trobar el valor de $\alpha$ primerament, considerem les relacions exposades com un sistema d'equacions de tres incògnites:

${\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}$

Passem $\alpha ^{2}$ al membre dret de la primera equació, obtenint:

$\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}$

Passem $\alpha$ al membre dret de la segona equació, obtenint:

$\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}$

Amb els resultats obtinguts, formem un nou sistema d'equacions.

${\begin{cases}\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}$

Sumem i restem les dues equacions del nou sistema, i unim els resultats en un altre nou sistema:

${\begin{cases}2\beta =r+\alpha ^{2}-{\frac {s}{\alpha }}\\2\gamma =r+\alpha ^{2}+{\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}$

Multipliquem les equacions de sistema recent, obtenint:

$4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Ens adonem que existeix $\beta \gamma$, per tant el reemplacem per $t$:

$4t=\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Passem $4t$ a l'altre membre de la igualtat amb signe oposat, això dona:

$\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}-4t=0$

Com que hi ha un terme fraccionari, procurem multiplicar l'equació per $\alpha ^{2}$:

$\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}-4t\alpha ^{2}=0$

Finalment, indiquem factor comú en $r^{2}\alpha ^{2}$ i $4t\alpha ^{2}$:

$\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0$

Fem la substitució $\alpha ^{2}=y$ (obtenint una equació cúbica resolvent):

$y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0\,$

Llavors, sigui $y$ una arrel positiva de l'equació cúbica resolvent. Solucionem per $\alpha$:

$\alpha ^{2}=y\rightarrow \alpha ={\sqrt {y}},y>0$

Per tant, hem trobat la solució per $\alpha$. Per tant, reemplaçant $\alpha$ en el sistema anterior al recent, obtenim les solucions $\beta$ i $\gamma$:

$2\beta =r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}$

$2\gamma =r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}$

Reemplacem els valors d' $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ les dues equacions quadràtiques:

$(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0$

$\left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0$

Apliquem la llei del producte nul en tots dos factors, això els separa en dues equacions quadràtiques diferents:

$w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$

$w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$

Calculem el discriminant de cada equació quadràtica:

$\Delta _{a}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}$

$\Delta _{b}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}$

Resolem les dues equacions per separat:

$w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{a}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

$w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{b}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

Llavors les solucions de l'equació cuártica reduïda són:

$w_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

$w_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

$w_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

$w_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$

I al mateix temps les solucions de l'equació original són:

$x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

$x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$