Seqüència Somos

En matemàtiques, una seqüència Somos és una seqüència de nombres definits per una certa relació de recurrència. Van ser descobertes pel matemàtic Michael Somos. Com que la seva recurrència definitòria inclou divisions, es podria esperar que els termes de la seqüència fossin fraccions, però moltes seqüències Somos tenen la propietat de que tots els seus valors són enters.

Equacions de recurrència

Per un nombre enter k major que 1, la seqüència Somos-k $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ és definida per l'equació

$S_{k}=a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}$

quan k és senar, o per l'equació anàloga

$S_{k}=a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2})^{2}$

quan k és parell, amb els valors inicials a_i = 1 per i < k.

Per k = 2 ó 3, aquesta recursivitat és molt simple (no hi ha addició a la part dreta) i defineixen la seqüència de tot uns (1, 1, 1, ...).

El primer cas no trivial és k = 4, amb l'equació definitòria següent:

$S_{4}=a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}$

Mentre que per k = 5 és:

$S_{5}=a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}$.

Aquestes equacions poden ser reescrites en forma de relació de recurrència:

$a_{n}={\frac {S_{k}}{a_{n-k}}}$

Tot i que en la definició habitual de les seqüències Somos els valors de a_i per i < k són 1, també és possible definir altres seqüències utilitzant les mateixes recurrències amb diferents valors inicials.

Pots consultar aquí les seqüències OEIS. $S_{4}$: A006720, $S_{5}$: A006721, $S_{6}$: A006722 i $S_{7}$: A006723

Integralitat

La forma de les recurrències definitòries de les seqüències Somos inclou divisions, per tant es podria esperar que les seqüències incloguessin fraccions. Tot i això, per k ≤ 7 les seqüències només inclouen valors enters, excepte si se'n modifiquen els valors inicials. Molts matemàtics han intentat explicar aquesta propietat; està estretament relacionada amb la combinatòria dels àlgebres de cluster.

Enllaços externs

• Jim Propp - The Somos Sequence Site (anglès)
• Wolfram Mathworld - Somos Sequence (anglès)
• Somos, M. «Step into the Elliptic Realm» & «Simple Somos Sequence», 2000, Cut-the-knot.
• «Michael Somos Home Page». Arxivat de l'original el 6 gener 2020. [Consulta: 29 març 2021].