Teorema de Donsker
En teoria de probabilitat, el teorema de Donsker (també conegut com principi d'invariància de Donsker, o teorema del límit central funcional), que du el nom de Monroe D. Donsker, és una extensió funcional del teorema del límit central.
Sigui una seqüència de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (i.i.d.) amb mitjana 0 i variància 1. Sigui Es coneix com ruta aleatòria al procés estocàstic . Defineixi's la ruta alelatòria escalada difusivament (procés de suma parcial) com
El teorema del límit central afirma que convergeix en distribució a una variable aleatòria gaussiana estàndard a mesura que . El principi d'invariància de Donsker[1][2] estén aquesta convergència a la funció sencera . Més concretament, en la seva forma moderna, el principi d'invariància de Donsker afirma que: com que les variables aleatòries prenen valors en l'espai de Skorokhod , la funció aleatòria convergeix en distribució al moviment brownià estàndard a mesura que
Història[modifica]
Sigui Fn la funció de distribució empírica de la seqüència de variables aletòries i.i.d. amb funció de distribució F. Defineixi's la versió centrada i escalada de Fn com
indexada per x ∈ R. Segons el teorema del límit central clàssic, per una x fixada, la variable aleatòria Gn(x) convergeix en distribució a un variable aleatòria gaussiana (normal) G(x) amb mitjana zero i variància F(x)(1 − F(x)) a mesura que la mida de la mostra n creix.
Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogórov) La seqüència de Gn(x), en tant que formada per elements dins de l'espai de Skorokhod , convergeix en distribució a un procés gaussià G amb mitjana igual a zero i covariància donada per
El procés G(x) pot ser escrit com B(F(x)) on B és un pont brownià estàndard en l'interval unitat.
Kolmogórov (1933) va demostrar que quan F és contínua, el suprem i el suprem del valor absolut , convergeixen en distribució a les lleis d'iguals funcionals del pont brownià B(t), vegeu la prova de Kolmogórov–Smirnov. L'any 1949, Doob es va preguntar si la convergència en distribució també aplicava per a funcionals més generals, i per tant va formular un problema de convergència dèbil de funcions aleatòries en un espai funcional adequat.[3]
L'any 1952, Donsker va afirmar i va demostrar (no del tot correctament) una extensió general pel plantejament heurístic de Doob–Kolmogórov.[4] En l'article original, Donsker va demostrar que la convergència en llei de Gn al pont brownià és correcte en distribucions uniformes en l'interval [0,1] respecte a la convergència uniforme en t en l'interval [0,1].[2]
Tanmateix la formulació de Donsker no era ben bé correcta a causa del problema de la mesurabilitat dels funcionals de processos discontinus. L'any 1956 Skorokhod i Kolmogórov van definir una mètrica separable d, anomenada la mètrica de Skorokhod, en l'espai de funcions càdlàg en l'interval [0,1], tal que la convergència en d a una funció contínua és equivalent a la convergència de la norma sup, i va demostrar que Gn convergeix en llei en amb el pont brownià.
Més tard, Dudley va reformular el resultat de Donsker per evitar el problema de la mesurabilitat i la necessitat de la mètrica de Skorokhod. Es pot demostrar[4] que existeix Xi, uniforme i iid en [0,1] i una seqüència de ponts brownians continus en mostra Bn, tals que
és mesurable i convergeix en probabilitat a 0. Una versió millorada d'aquest resultat, que proporcionar més detall sobre el ritme de convergència, és l'aproximació de Komlós–Major–Tusnády.
Vegeu també[modifica]
Referències[modifica]
- ↑ Donsker, M.D. Memoirs of the American Mathematical Society, 6, 1951.
- ↑ 2,0 2,1 Donsker, M. D. Annals of Mathematical Statistics, 23, 2, 1952, pàg. 277–281. DOI: 10.1214/aoms/1177729445 [Consulta: free].Donsker, M. D. (1952). "Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems". Annals of Mathematical Statistics. 23 (2): 277–281. doi:10.1214/aoms/1177729445. MR 0047288. Zbl 0046.35103.
- ↑ Doob, Joseph L. Annals of Mathematical Statistics, 20, 3, 1949, pàg. 393–403. DOI: 10.1214/aoms/1177729991 [Consulta: free].
- ↑ 4,0 4,1 Dudley, R.M.. Uniform Central Limit Theorems. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-46102-3.Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46102-3.