Usuari:Freutci/student

La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al..

Definició

Sigui $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ una variable aleatòria normal estàndard i $Q\sim \chi ^{2}(\nu )$ una variable aleatòria amb distribució ${\ce {\chi^2}}$ amb $\nu$ graus de llibertat, $Z$ i $Q$ independents. La variable

$$T={\frac {Z}{\sqrt {Q/\nu }}}$$

es diu que té una distribució $t$ de Student amb $\nu$ graus de llibertat i s'escriu $T\sim t(\nu )$ o bé $T\sim t_{\nu }$.

Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució ${\ce {\chi^2}}$ és quan el nombre $\nu$ de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de $\nu$ variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució ${\ce {\chi^2}}$ que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu ${\ce {\nu \in (0,\infty )}}$, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució . En conseqüència, pot definir-se la distribució $t$ de Student amb graus de llibertat qualsevol nombre ${\ce {\nu \in (0,\infty )}}$. Cal dir que el programari estadístic estàndard, per exemple, el llenguatge R, utilitza graus de llibertat fraccionaris en certs tests estadístics.

Funció de densitat

La funció de densitat de la distribució $t$ de Student amb $\nu \in (0,\infty )$ graus de llibertat és

$$f(x)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu +1}{2}}{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,\qquad (1)$$

on $\Gamma (x)$ és la funció gamma.

Utilitzant la funció Beta ${\text{B}}(x,y)$ i que $\Gamma {\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\sqrt {\pi }}$ també es pot escriure

$$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,{\text{B}}{\big (}{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}.$$

Funció parella. Cal remarcar que aquesta funció és parella : $f(-x)=f(x)$; gràficament, és simètrica respecte l'eix d'ordenades. Aquesta propietat és important en els càlculs de probabilitats.

Prova

El càlcul de la funció de densitat de $T$ es fa mitjançant la fórmula de canvi de variables per a vectors aleatoris. Concretament, amb les notacions que hem introduït a la definició de $T$, considerem la funció $h$ que transforma el vector $(Z,Q)$ en el vector$(T,Q)$:

$$h(z,y)=(t,y),\quad {\text{amb}}\quad t={\frac {z}{\sqrt {y/\nu }}}.$$

La transformació inversa és

$$g(t,y)={\big (}t{\sqrt {y/\nu }},y{\big )}.$$

El determinant jacobià d'aquesta transformació és

$$J_{g}(t,y)={\sqrt {y/\nu }}.$$

D'altra banda, degut a que $Z$ i $Q$ són independents, la densitat conjunta del vector$(Z,Q)$ és el producte de les funcions de densitat:

$$f_{(Z,Q)}(z,y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,e^{-(z^{2}+y)/2}\,y^{\nu /2-1}.$$

Llavors, la densitat conjunta de $(T,Q)$ és

$$f_{(T,Q)}(t,y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,y^{\nu /2-1}{\sqrt {\frac {y}{\nu }}}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \nu }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,y^{(\nu -1)/2}.$$

La densitat (marginal) de $T$ és

$$f_{T}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(T,Q)}(t,y)\,dy={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \nu }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\int _{0}^{\infty }y^{(\nu -1)/2}\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,dy={\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma (\nu /2)}}{\Big (}1+{\frac {t^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2},$$

on, per calcular la integral, hem fet el canvi de variable $y(1+t^{2}/\nu )/2=u$ i hem utilitzat la funció gamma.

Quan $\nu$ és un nombre natural, la funció de densitat és simplifica. Concretament,per a $\nu =1$,

$${\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {\Gamma (1)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (1/2)}}={\frac {1}{\pi }}.$$

Llavors

$$f(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {1}{1+x^{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,$$

i per tant es tracta d'una distribució de Cauchy (centrada en l'origen). Per a $\nu \geq 3$ senar, la constant de la funció de densitat és

$${\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3}}={\frac {(\nu -1)!!}{\pi {\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)!!}},$$

on $k!!$ és el doble factorial del nombre $k$.

Per a $\nu$ parell,

$${\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2}}={\frac {(\nu -1)!!}{2{\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)!!}}\,,$$

(Cal recordar que $0!!$=1).

Funció de distribució

Quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural, la funció de distribució es pot donar explícitament en termes de funcions elementals, amb una expressió que es complica a l'augmentar els graus de llibertat.

$\nu$	Funció de densitat	Funció de distribució
1	${\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)$
2	${\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}$
3	${\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}$
4	${\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}$
5	${\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}$

Prova

El càlcul de la funció de distribució es redueix a calcular una integral de la forma $\int {\frac {1}{(1+x^{2}/a)^{n}}}\,dx$, amb $a>0$ i $n\in \mathbb {N}$ o $\int {\frac {1}{(1+x^{2}/a)^{m/2}}}\,dx$ amb $a>0$ i $m\geq 3$ un nombre senar . En ambdós casos, mitjançant el canvi $x={\sqrt {a}}\,y$ n'hi ha prou amb considerar $a=1$.

Tenim que

$$\int {\frac {1}{1+y^{2}}}\,dy=\arctan y+C,$$

i per a $n\geq 2$, la integral $\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n}}}\,dy$ és una integral d'una funció racional amb arrels complexes múltiples, que dóna

$$\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n}}}\,dy={\frac {1}{2n-2}}{\frac {y}{(1+y^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n-1}}}\,dy.$$

La integral $\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{m/2}}}\,dy$ per a $m\geq 3$ senar, mitjançant el canvi $y=\tan u$ es converteix en una integral de la forma ${\textstyle \int \cos ^{k}u\,du}$, que es pot calcular iterativament (vegeu la fórmula de la integral d'una potència del cosinus), i acaba donant  :

$$\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{m/2}}}\,dy={\frac {y}{(m-2)(1+y^{2})^{(m-2)/2}}}+{\frac {m-3}{m-2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{(m-2)/2}}}\,dy.$$

Calculem, per exemple, la funció de distribució per a $\nu =2$: hem de calcular

$$\int {\frac {1}{(1+x^{2}/2)^{3/2}}}\,dx={\sqrt {2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{3/2}}}\,dy={\sqrt {2}}\,{\frac {y}{\sqrt {1+y^{2}}}}+C={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}/2}}}+C.$$

Llavors,

$${\begin{aligned}F(t)&=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\int _{-\infty }^{t}{\frac {1}{(1+x^{2}/2)^{3/2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}/2}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\lim _{s\to -\infty }{\frac {s}{\sqrt {1+s^{2}/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}/2}}}+{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$$

Expressions alternatives de la funció de distribució

Per al cas general podem escriure la funció de densitat en termes de la funció beta incompleta:

$$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx=1-{\frac {1}{2}}\,I_{y(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),\quad t\geq 0,$$

on $y(t)=\nu /(\nu +t^{2})$ i $I_{x}(a,b)$ és la funció beta incompleta regularitzada.

Per a $t<0$, atès que la funció de densitat és parella, el càlcul de $F(t)$ és fa per arguments de simetria.

Prova

Fixat $t\geq 0$, tenim que

$$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{0}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}f(x)\,dx={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\big (}\nu /2{\big )}}}\int _{0}^{t}{\Big (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx,$$

on hem utilitzat la simetria respecte l'eix d'ordenades de la funció de densitat $f(t)$. A la darrera integral fem el canvi

$$1+{\frac {x^{2}}{\nu }}={\frac {1}{y}},$$

amb la qual cosa aquesta integral queda

${\begin{aligned}\int _{0}^{t}{\Big (}1+{\frac {t^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2}\,dx&=-{\frac {\sqrt {\nu }}{2}}\int _{1}^{\nu /(\nu +t^{2})}y^{(\nu +1)/2}y^{-3/2}(1-y)^{-1/2}\,dy\\&={\frac {\sqrt {\nu }}{2}}\int _{\nu /(\nu +t^{2})}^{1}y^{\nu /2-1}(1-y)^{1/2-1}\,dy\\&={\frac {\sqrt {\nu }}{2}}{\Big (}B{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}-B{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}\,I_{\nu /(\nu +t^{2})}{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\Big )},\end{aligned}}$

on $B(a,b)$ és la funció Beta i és la funció Beta incompleta regularitzada $I_{x}(a,b)$. D'on es dedueix la fórmula per a $F(t)$.

També, per a $t^{2}<\nu$, es pot escriure la funció de distribució en termes d'una funció hipergeomètrica

$$F(t)={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\big (}\nu /2{\big )}}}\,{}_{2}\!F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}(\nu +1);{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {t^{2}}{\nu }}\right),$$

on ${}_{2}\!F_{1}$ és una funció hipergeomètrica.

Moments

Sigui $n$ un nombre natural. Aleshores

• Si $1\leq n<\nu$ , tenim que
  $$E[T^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}},&{\text{si}}\ n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}$$
• Si $n\geq \nu$, llavors $E{\big [}\vert T^{n}\vert {\big ]}=\infty$, i en conseqüència el moment d'ordre $n$ no existeix.

En el cas $n$ parell, $n<\nu$, també tenim

$$E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\frac {1\cdot 3\cdots (n-1)}{(\nu -n)(\nu -n+2)\cdots (\nu -2)}}=\nu ^{n/2}\,\prod _{i=1}^{n/2}{\frac {2i-1}{\nu -2i}},$$

En particular, si $\nu >1$, llavors $E[T]=0$. Si $\nu >2$, llavors

$${\text{Var}}(T)=E[T^{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}.$$

Prova

El càlcul dels moments és senzill si es parteix de la definició de la variable $T$ i no de la funció de densitat. Comencem estudiant quan existeixen els moments de $T$. D'acord amb la seva definició i les notacions que hem introduït,

$$E{\big [}\vert T\vert ^{n}{\big ]}=\nu ^{n/2}\,E{\big [}\vert Z\vert ^{n}{\big ]}\,E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]},$$

on hem utilitzat que $\vert Z\vert$ i $Q$ són independents i positives. Atès que una variable normal té moments de tots els ordres, l'expressió anterior serà finita o no segons ho sigui $E[Q^{-n/2}]$. Tenim que

$$E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]}={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{-n/2}x^{(\nu /2)-1}e^{-x/2}\,dx={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{(\nu -n)/2-1}e^{-x/2}\,dx.$$

Fen el canvi $y=x/2$, la integral de la dreta dóna $2^{(\nu -n)/2}\Gamma ((\nu -n)/2)$ quan $(\nu -n)/2>0$, i $+\infty$ en cas contrari.

Ara, per calcular els moments quan $(\nu -n)/2>0$, és a dir, si $\nu >n$, repetim els càlculs anteriors sense el valor absolut tenint en compte que per a una variable normal estàndard tenim

$$E[Z^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {2^{n/2}}{\sqrt {\pi }}}\,\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )},&n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}$$

D'on

$$E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}.$$

Aproximació normal

En aquesta secció considerem els graus de llibertat $\nu$ un nombre natural. Sigui $T_{\nu }\sim t(\nu )$, aleshores per a $\nu$ gran, $T_{\nu }$ és aproximadament normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Prova

Considerem una successió de variables aleatòries $Z,Z_{1},Z_{2},\dots ,$, independents, totes amb distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$. D'una banda, la successió $Z_{1}^{2},Z_{2}^{2},\dots ,$ està formada per variables aleatòries independents, amb esperança $E[Z_{i}^{2}]=1$; per la llei forta dels grans nombres,

$$\lim _{\nu \to \infty }{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}=1,\quad {\text{quasi segurament}}.$$

Llavors,

$$\lim _{\nu \to \infty }{\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}=Z,\quad {\text{quasi segurament}}.$$

En conseqüència, per les relacions entre els diversos tipus de convergència de variables aleatòries,

$$\lim _{\nu \to \infty }{\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}=Z,\quad {\text{en distribució}}.$$

Però, d'altra banda,

$${\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}\sim t(\nu ),$$

que és el que volíem demostrar.

Alternativament, si designem per $f_{\nu }(x)$ la funció de densitat de la distribució $t(\nu )$ ,

$$f_{\nu }(x)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu +1}{2}}{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}},$$

aplicant les propietats asimptòtiques de la funció gamma i calculant un límit del nombre $e$, es demostrar que

$$\lim _{\nu \to \infty }f_{\nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2},$$

d'on, per les propietats de la convergència en distribució, s'obté també l'aproximació normal a la distribució $t(\nu )$.

Funció característica

Quan el nombre de graus de llibertat és una nombre natural, hi ha formules per la funció característica de la distribució de Student, que depenen de si els graus de llibertat son senars o parells, fórmules que cada cop són més complicades a l'augmentar el nombre de graus de llibertat. Una fórmula general utilitzant funcions especials va ser obtinguda el 1995 independentment per S. Hurst i A. H. Jorder (veieu ). Concretament, si $T\sim t(\nu )$,

$$\varphi (t)=E[e^{itT}]={\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\,\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\nu /2-1}}},$$

on $K_{\nu }(x)$ és la funció de Bessel modificada de segon tipus.

La distribució t de Student en Estadística

El paper central que té distribució $t$ de Student en la inferència estadística de poblacions normals és degut al següent teorema :

Teorema. Sigui $X_{1},\dots ,X_{n}$ una mostra d'una població normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , és a dir, les variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents i totes tenen distribució ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. Considerem la mitjana mostral $${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$$ Aleshores: ${\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}\sim \chi ^{2}(n-1).$ Les variables aleatòries ${\overline {X}}$ i $\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}$ són independents. Sigui $$T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}},$$ on $$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2},$$ és la variància mostral. Llavors, $T\sim t(n-1)$.

Vegeu la pàgina de la distribució $\chi ^{2}$ per a la demostració dels punts 1 i 2. El punt 3 es dedueix del fet que ${\overline {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$ i de les parts 1 i 2 i de la definició de la distribució $t$ de Student.

Vegeu la pàgina Interval de confiança per a exemples concrets d'utilització de la distribució de Student.

Relació amb altres distribucions

• La distribució $t(1)$ coincideix amb la distribució de Cauchy.
• Si $T\sim t(\nu )$, aleshores $T^{2}$ té una distribució $F$ amb 1 i $\nu$ graus de llibertat: $T^{2}\sim F(1,\nu )$ .

Vegeu també

• Prova t de Student
• Distribució $\chi ^{2}$
• Interval de confiança

Bibliografia

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2nd ed. New York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.