En matemàtiques , en l'àrea de la combinatòria , la q -derivadaderivada de Jackson ), és un q -anàlegderivada ordinària , introduïda per Frank Hilton Jackson . És la inversió de la q -integral de Jacksonq -derivades, vegeu (Chung et al. (1994) ).
La q -derivada d'una funció f(x) es defineix com
(
d
d
x
)
q
f
(
x
)
=
f
(
q
x
)
−
f
(
x
)
q
x
−
x
.
{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}
També s'escriu sovint com
D
q
f
(
x
)
{\displaystyle D_{q}f(x)}
q -derivada també es coneix com a «derivada de Jackson».
Formalment, en termes de l'operador de decalatge de Lagrange en variables logarítmiques, representa l'operador
D
q
=
1
x
q
d
d
(
ln
x
)
−
1
q
−
1
,
{\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}
que va a la derivada plana
→
d
d
x
{\displaystyle \to {\frac {d}{dx}}}
q
→
1
{\displaystyle q\to 1}
És manifestament lineal,
D
q
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
D
q
f
(
x
)
+
D
q
g
(
x
)
.
{\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}
Té una regla del producte anàloga a la regla del producte de la derivada ordinària, amb dues formes equivalents:
D
q
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
D
q
f
(
x
)
+
f
(
q
x
)
D
q
g
(
x
)
=
g
(
q
x
)
D
q
f
(
x
)
+
f
(
x
)
D
q
g
(
x
)
.
{\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}
De manera similar, compleix una regla del quocient ,
D
q
(
f
(
x
)
/
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
D
q
f
(
x
)
−
f
(
x
)
D
q
g
(
x
)
g
(
q
x
)
g
(
x
)
,
g
(
x
)
g
(
q
x
)
≠
0.
{\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}
També hi ha una regla similar a la regla de la cadena per a derivades ordinàries. Fem
g
(
x
)
=
c
x
k
{\displaystyle g(x)=cx^{k}}
D
q
f
(
g
(
x
)
)
=
D
q
k
(
f
)
(
g
(
x
)
)
D
q
(
g
)
(
x
)
.
{\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}
La funció pròpia de la q -derivada és la funció q- exponencial eq (x ).
Relació amb les derivades ordinàries [ modifica ] La q -diferenciació s'assembla a la diferenciació ordinària, amb diferències curioses. Per exemple, la q -derivada del monomi és:
(
d
d
z
)
q
z
n
=
1
−
q
n
1
−
q
z
n
−
1
=
[
n
]
q
z
n
−
1
{\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}
on
[
n
]
q
{\displaystyle [n]_{q}}
q -claudatorn . Vegeu que
lim
q
→
1
[
n
]
q
=
n
{\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}
La n-èsima q -derivada d'una funció ve donada com:
(
D
q
n
f
)
(
0
)
=
f
(
n
)
(
0
)
n
!
(
q
;
q
)
n
(
1
−
q
)
n
=
f
(
n
)
(
0
)
n
!
[
n
]
q
!
{\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}
sempre que la n-èsima derivada ordinària de
f
{\displaystyle f}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
(
q
;
q
)
n
{\displaystyle (q;q)_{n}}
símbol q-Pochhammer , i
[
n
]
q
!
{\displaystyle [n]_{q}!}
q -factorial
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
analítica , podem aplicar la fórmula de Taylor a la definició de
D
q
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle D_{q}(f(x))}
D
q
(
f
(
x
)
)
=
∑
k
=
0
∞
(
q
−
1
)
k
(
k
+
1
)
!
x
k
f
(
k
+
1
)
(
x
)
.
{\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}
El q -anàleg de la sèrie de Taylor d'una funció sobre zero és:
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
z
n
n
!
=
∑
n
=
0
∞
(
D
q
n
f
)
(
0
)
z
n
[
n
]
q
!
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}
D
q
s
i
n
(
x
)
=
sin
(
q
x
)
−
sin
(
x
)
(
q
−
1
)
x
{\displaystyle D_{q}sin(x)={\frac {\sin \left(qx\right)-\sin \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}}
q -derivada de sin(x) (animació)q -derivada de sin(x) (gràfica 3D)q -derivada de sin(x) (animació 2D)q -derivada de sin(x) (gràfica de densitat)
D
q
t
a
n
h
(
x
)
=
tanh
(
q
x
)
−
tanh
(
x
)
(
q
−
1
)
x
{\displaystyle D_{q}tanh(x)={\frac {\tanh \left(qx\right)-\tanh \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}}
q -derivada de tanh(x) (animació)q -derivada de tanh(x) (gràfica 3D)q -derivada de tanh(z) (gràfica 3D complex)q -derivada de tanh(z) (gràfica de densistat 2D)
F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator , Trans. Roy. Soc. Edin., 46 , 253-281.
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
Chung, K. S., Chung, W. S., Nam, S. T., & Kang, H. J. (1994). New q-derivative and q-logarithm . International Journal of Theoretical Physics, 33 , 2019-2029. 
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a0fdcac5de2e43d295dde69328b13b64d51c6c)
![{\displaystyle [n]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd22063139d4a06ae9dfcaf79a85a2b2f751fc)
![{\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a110bfe1445444b82c53754fa3f08361f4715aba)
![{\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffbbfd8c17009de664036b8758cb8dcc679638a)
![{\displaystyle [n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265dcf73f45dc7d6cff172fe6b6d0f457f1c107f)
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3f1e9b829520538feb6987126b00f1c1cc6c53)
