Tautologia (lògica)

La tautologia és una fórmula proposicional que és verdadera sigui quin sigui el valor de veritat assignat als seus components proposicionals elementals. Una fórmula pot ser qualificada de tautologia mitjançant l'elaboració de la seva taula de veritat. Per exemple, a la fórmula p ∨ ¬ p ("plou o no plou") li correspon la taula de veritat següent

p	(p ∨ ¬ p)
V	V
F	V

Estem davant d'una tautologia quan en la columna corresponent al connector principal tots els valors són V.

La condició tautològica està present en les regles d'inferència. La llei del modus ponens, per exemple, presenta la següent estructura tautològica: [(p → q)∧ p] → q

Taules de veritat

Article principal: Taula de veritat

En un sistema de lògica proposicional, una interpretació no és més que una funció que assigna un únic valor de veritat a totes les fórmules atòmiques sota consideració. Diferents interpretacions, per tant, difereixen només en les assignacions de valors de veritat que fan. Una tautologia és una fórmula ben formada que sota qualsevol interpretació dels seus components atòmics, té valor de veritat 1 (veritable). Per tant, per determinar si una fórmula qualsevol és una tautologia, només cal considerar totes les possibles interpretacions de les fórmules atòmiques, i calcular el valor de veritat del tot. Això s'aconsegueix mitjançant una taula de veritat. Per exemple, consideri la fórmula p ∧ q . Com a cada fórmula atòmica pot assignar un de dos possibles valors de veritat, hi ha en total 2 ² = 4 possibles combinacions de valors de veritat. És a dir, quatre interpretacions possibles: o ambdues són veritables, o p és veritable i q falsa, o p és falsa i q veritable, o ambdues són falses. Això pot presentar mitjançant una simple taula:

${\begin{array}{c|c}p&q\\\hline 1&1\\1&0\\0&1\\0&0\\\end{array}}$

Per a cadascuna d'aquestes interpretacions, es pot calcular el valor de veritat de la fórmula p ∧ q . Els resultats poden presentar-se novament mitjançant una taula:

${\begin{array}{c|c||c}p&q&p\land q\\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{array}}$

Aquesta és la taula de veritat de la fórmula p ∧ q . Com es veu, aquesta fórmula només és veritable sota una interpretació: aquella en què les dues fórmules atòmiques són veritables. Una tautologia és una fórmula el valor de veritat és 1 per totes les interpretacions possibles de les fórmules atòmiques. Per tant, p ∧ q no és una tautologia. En canvi, la següent taula de veritat mostra una fórmula que sí que ho és:

${\begin{array}{c|c||c|c}p&q&(p\land q)&(p\land q)\to p\\\hline 1&1&1&1\\1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&0&1\\\end{array}}$

Si una fórmula té n fórmules atòmiques, llavors té 2 ⁿ interpretacions possibles. En molts casos, per tant, les taules de veritat poden ser molt grans. L'important, però, és que atès que la lògica proposicional no admet fórmules infinites, el nombre d'interpretacions possibles sempre serà un nombre finit, i per tant sempre serà possible decidir si una fórmula qualsevol és una tautologia o no.

Vegeu també

• Càlcul lògic
• Veritat lògica