Polinomi mínim: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
m de moment -Categoria:Àlgebra lineal |
||
Línia 18: | Línia 18: | ||
El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu <math>4I_n</math>, que té com a polinomi característic <math>(x-4)^n</math>. Tot i així, el polinomi mínim és <math>x-4</math>, ja que <math>4I-4I=0</math>, per el que són diferents per a <math>n\ge 2</math>. El fet que el polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic és conseqüència del [[teorema de Cayley–Hamilton]]. |
El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu <math>4I_n</math>, que té com a polinomi característic <math>(x-4)^n</math>. Tot i així, el polinomi mínim és <math>x-4</math>, ja que <math>4I-4I=0</math>, per el que són diferents per a <math>n\ge 2</math>. El fet que el polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic és conseqüència del [[teorema de Cayley–Hamilton]]. |
||
[[Categoria:Àlgebra lineal]] |
|||
[[Categoria:Polinomis]] |
[[Categoria:Polinomis]] |
||
[[Categoria:Teoria de cossos]] |
[[Categoria:Teoria de cossos]] |
Revisió del 12:03, 9 abr 2006
En matemàtiques, el polinomi mínim d'un element α és el polinomi mònic p de menor grau tal que p(α)=0. Les propietats del polinomi mínim dependen de l'estructura algebraica a la qual pertany α.
Teoria de cossos
En teoria de cossos, donada una extensió de cos E/F i un element α d' E que sigui algebraic sobre F, el polinomi mínim de α és el polinomi mònic p, amb coeficients en F, de menor grau tal que p(α) = 0. El polinomi mínim és irreducible, i qualsevol oltre polinomi no nul f que compleix f(α) = 0 és un múltiple de p.
Àlgebra lineal
En l'àlgebra lineal, el polinomi mínim d'una matriu n-x-n A sobre un cos F és el polinomi mònic p(x) sobre F de menor grau tal que p(A)=0. Qualsevol altre polinomi q amb q(A) = 0 és un múltiple de p.
Els següents tres enunciats són equivalents:
- λ∈F és una arrel de p(x),
- λ és una arrel del polinomi característic d' A,
- λ és un valor propi d' A.
La multiplicitat de l'arrel λ de p(x) és la grandària del major bloc de Jordan corresponent a λ.
El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu , que té com a polinomi característic . Tot i així, el polinomi mínim és , ja que , per el que són diferents per a . El fet que el polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic és conseqüència del teorema de Cayley–Hamilton.