Paral·lelisme (geometria)

Les rectes a i b són paral·leles.

Tres plans paral·lels.

En geometria, el paral·lelisme és una relació que s'estableix entre rectes o plans.

Les rectes paral·leles són rectes coplanars que no intersequen (és a dir, que no es tallen) en cap punt. Els plans paral·lels són plans en el mateix espai tridimensional que mai es troben. En un espai euclidià tridimensional, una recta i un pla que no comparteixen cap punt també es diu que són paral·lels. D'altra banda dues rectes que no es tallen i no són coplanars s'anomenen rectes que es creuen. En el pla cartesià, dues rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent.

Les rectes paral·leles són el tema del postulat de les rectes paral·leles d'Euclides. El paral·lelisme és principalment una propietat de les geometries afins i la geometria euclidiana és un cas especial d'aquest tipus de geometries. En algunes altres geometries, com ara la geometria hiperbòlica, les rectes poden tenir propietats anàlogues que es coneixen també com a paral·lelisme. El concepte també es pot generalitzar a corbes paral·leles no rectes i superfícies paral·leles no planes, que mantenen una distància mínima fixa i no es toquen entre si ni es creuen.

Notació

El símbol de paral·lelisme és $\parallel$. Per exemple, $AB\parallel CD$ significa que la línia AB és paral·lela a la línia CD.

En el conjunt de caràcters Unicode, el signe «paral·lel» (∥) té el codi U+2225 i el signe «no paral·lel» (∦) té el codi U+2226. D'altra banda el codi U+22D5 (⋕) representa la relació «igual i paral·lel a».

Història

La definició de línies paral·leles com un parell de línies rectes en un pla que no es tallen apareix com a Definició 23 al Llibre I dels Elements d'Euclides. Altres grecs van discutir definicions alternatives, sovint com a part d'un intent de demostrar el postulat de les paral·leles. Procle atribueix una definició de línies paral·leles com a línies equidistants a Posidoni i cita Gemin de Rodes en una línia similar. Simplici també esmenta la definició de Posidoni, així com la seva modificació pel filòsof Aganis.

A finals del segle XIX, a Anglaterra, els Elements d'Euclides encara era el llibre de text estàndard a les escoles secundàries. Tanmateix el tractament tradicional de la geometria estava sent qüestionat amb la idea d'introduir-hi els nous desenvolupaments en geometria projectiva i geometria no euclidiana i així, en aquella època es van crear diversos llibres de text per a l'ensenyament de la geometria. Una diferència important entre aquests textos, tant entre ells com entre ells i el d'Euclides, és precisament el tractament de les rectes paral·leles.

Els nous textos no van estar exempts de valoracions negatives; un dels crítics, Charles Dodgson (també conegut com a Lewis Carroll), va escriure una obra de teatre, «Euclides i els seus rivals moderns», en la qual aquests textos són durament criticats.

Un dels primers llibres de text de la reforma va ser «Elementary Geometry», de James Maurice Wilson, el 1868. Wilson va basar la seva definició de línies paral·leles en la noció primitiva de «direcció». Segons Wilhelm Killing la idea es pot remuntar a Leibniz. Wilson, sense definir la direcció, ja que la dona per establerta, utilitza el terme en altres definicions, com ara la seva sisena definició: Dues línies rectes que es troben tenen direccions diferents i la diferència de llurs direccions és l'«angle» entre elles. Wilson (1868, p. 2) A la definició 15 introdueix les línies paral·leles d'aquesta manera: Les línies rectes que tenen la «mateixa direcció», però no formen part de la mateixa línia recta, s'anomenen «línies paral·leles». Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan va revisar aquest text i el va considerar un fracàs, principalment per aquesta definició i per la manera com Wilson la va utilitzar per a demostrar propietats de les rectes paral·leles. Dodgson també dedica una gran part de la seva obra (Acte II, Escena VI § 1) a denunciar el tractament de les paral·leles per part de Wilson. Wilson va modificar aquest concepte a partir de la tercera edició del seu text.

Altres propietats, proposades per altres reformadors i utilitzades com a substituts de la definició de rectes paral·leles, no van tenir gaire millor resultat. La principal dificultat, tal com va assenyalar Dodgson, era que per a utilitzar-les d'aquesta manera calia afegir axiomes addicionals al sistema. La definició de línia equidistant de Posidoni, exposada per Francis Cuthbertson al seu text de 1874 «Geometria euclidiana», té l'inconvenient que s'ha de demostrar que els punts que es troben a una distància fixa donada a un costat d'una línia recta formen també una línia recta. Això no es pot demostrar i s'ha de suposar que és cert. Els angles corresponents formats per una propietat transversal, utilitzats per W. D. Cooley al seu text de 1860, «Els elements de la geometria, simplificats i explicats», requereixen una demostració del fet que si una transversal es troba amb un parell de rectes en angles corresponents congruents, aleshores totes les transversals han de fer-ho. De nou, cal un nou axioma per a justificar aquesta afirmació.

Paral·lelisme euclidià

Axioma d'unicitat

L'axioma que distingeix la geometria euclidiana d'altres geometries és aquest: En un pla, per un punt exterior a una recta passa una i només una paral·lela a aquesta recta.

Propietats

• Reflexiva: Tota recta és paral·lela a si mateixa:

a ∥ a

• Simètrica: Si una recta és paral·lela a una altra, aquella és paral·lela a la primera:

Si a ∥ b $\Rightarrow$ b ∥ a

Aquestes dues propietats es dedueixen de la intersecció de conjunts i no depenen de l'axioma d'unicitat.

• Transitiva: Si una recta és paral·lela a una altra, i aquesta al seu torn és paral·lela a una tercera, la primera és paral·lela a la tercera:

Si a ∥ b $\wedge$ b ∥ c $\Rightarrow$ a ∥ c

Dues rectes en un pla

Condicions per al paral·lelisme

Com mostren les marques de graduació, les rectes a i b són paral·leles. Això es pot demostrar perquè la transversal t produeix angles corresponents congruents $\theta$, que es mostren aquí tots dos a la dreta de la transversal, un per sobre i adjacent a la recta a i l'altre per sobre i adjacent a la recta b.

Donades les rectes paral·leles a i b a l'espai euclidià, les propietats següents són equivalents:

1. Cada punt de la recta a es troba exactament a la mateixa distància (mínima) de la recta b (rectes equidistants).
2. La recta b està en el mateix pla que la recta a però no la talla (cal recordar que les rectes s'estenen fins a l'infinit en tots dos sentits).
3. Quan les rectes b i a estan tallades per una tercera recta (una transversal) en el mateix pla, els angles corresponents d'intersecció amb la transversal són congruents.

Com que aquestes són propietats equivalents, qualsevol d'elles es podria prendre com a definició de paral·lelisme en l'espai euclidià, però la primera i la tercera propietats impliquen mesurament i, per tant, són «més complicades» que la segona. Així, la segona propietat és la que normalment s'escull com a propietat definidora de les rectes paral·leles en la geometria euclidiana. Les altres propietats són llavors conseqüències del postulat de les paral·leles d'Euclides.

Construcció

Les tres propietats anteriors condueixen a tres mètodes diferents de construcció de línies paral·leles.

El problema: Dibuixar una recta que passi pel punt a i que sigui paral·lela a la línia recta l.

• 
  Propietat 1: La nova recta té a tot arreu la mateixa distància a l.
• 
  Propietat 2: Dibuixar una línia aleatòria que passi per a i que talli l en un punt x. Després moure el punt x fins a l'infinit.
• 
  Propietat 3: Tant l com la nova recta comparteixen una línia transversal que passa per a i que les talla a 90°.

Distància entre dues línies paral·leles

Com que en un pla euclidià dues línies paral·leles són equidistants, hi ha una distància única entre elles. Donades les equacions de dues línies paral·leles no verticals ni horitzontals,

$y=mx+b_{1}\,$

$y=mx+b_{2}\,,$

la distància entre elles es pot trobar localitzant un punt a cada línia que es trobin en una perpendicular comuna a les dues línies i calculant la distància entre ells. Com que les rectes tenen pendent $m$, una perpendicular comuna tindria pendent − 1/$m$ i hom pot considerar la recta amb l'equació y = −x/m com a perpendicular comuna. Resolent els sistemes lineals

${\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}$

i

${\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}$

hom obté les coordenades dels punts. Les solucions són els punts

$\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,$

i

$\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).$

Aquestes fórmules encara donen les coordenades correctes dels punts fins i tot si les rectes paral·leles són horitzontals (és a dir, m = 0). La distància entre els punts és

$d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,$

que es redueix a

$d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.$

Quan les rectes s'expressen en la forma general de l'equació d'una recta (s'hi inclouen les línies horitzontals i verticals):

$ax+by+c_{1}=0\,$

$ax+by+c_{2}=0,\,$

la seva distància es pot expressar com

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Dues rectes en un espai tridimensional

En un espai tridimensional dues rectes que no es tallen no necessàriament són paral·leles. Només si es troben en un pla comú s'anomenen paral·leles; en cas contrari, s'anomenen rectes que es creuen.

Dues rectes diferents l i m en un espai tridimensional són paral·leles si i només si la distància des d'un punt P situat a la recta m fins al punt més proper de la recta l és independent de la ubicació de P a la recta m. Això mai no es compleix per a rectes que es creuen.

Una recta i un pla

En un espai tridimensional un pla q i una recta m que no hi està continguda són paral·lels si i només si no es tallen.

Expressat d'una altra manera: són paral·lels si i només si la distància des d'un punt P situat a la recta m fins al punt més proper del pla q és independent de la ubicació de P a la recta m.

Dos plans

De manera similar al fet que dues rectes han d'estar situades al mateix pla per a ser paral·leles, els plans paral·lels han d'estar situats al mateix espai tridimensional i no contenir cap punt en comú.

Dos plans diferents q i r són paral·lels si i només si la distància des d'un punt P situat al pla q fins al punt més proper del pla r és independent de la ubicació de P al pla q. Això no es complirà mai si els dos plans no es troben al mateix espai tridimensional.

Geometria no euclidiana

En geometria no euclidiana, el concepte de línia recta se substitueix pel concepte més general de geodèsica, una corba que és localment recta respecte a la mètrica (definició de distància) en una varietat riemanniana, una superfície (o espai de dimensió superior) que pot ser corba. En la relativitat general les partícules que no estan sota la influència de forces externes segueixen geodèsiques en l'espai-temps, una varietat tetradimensional amb 3 dimensions espacials i una dimensió temporal.

En geometria no euclidiana (el·líptica o geometria hiperbòlica) les tres propietats euclidianes esmentades anteriorment no són equivalents i només la segona (la línia m està en el mateix pla que la línia l però no la talla) és útil en geometries no euclidianes, ja que no implica mesures. En geometria general les tres propietats anteriors donen tres tipus diferents de corbes, corbes equidistants, geodèsiques paral·leles i geodèsiques que comparteixen una perpendicular comuna, respectivament.

Geometria hiperbòlica

Vegeu també: Geometria hiperbòlica

Rectes que es tallen, paral·leles i ultraparal·leles que passen pel punt a respecte a la línia l en el pla hiperbòlic. Les rectes paral·leles semblen tallar la l just a la sortida de la imatge, però això és un efecte de la visualització. En un pla hiperbòlic real, les rectes s'acostaran l'una a l'altra i es «trobaran» a l'infinit.

Mentre que en la geometria euclidiana dues geodèsiques poden tallar-se o ser paral·leles, en la geometria hiperbòlica hi ha tres possibilitats. Dues geodèsiques que pertanyen al mateix pla poden:

1. intersecar, si coincideixen en un punt comú del pla,
2. ser paral·leles, si no es tallen en el pla, però convergeixen en un punt límit comú a l'infinit (punt ideal), o bé
3. ser ultraparal·leles, si no tenen un punt límit comú a l'infinit.

En la literatura es diu sovint que les geodèsiques ultraparal·leles «no intersequen». Les «geodèsiques que es tallen a l'infinit» s'anomenen paral·leles límit.

Com es veu a la figura, a través d'un punt a que no està situat a la línia l, hi ha dues línies paral·leles límit, una per a cada sentit de la línia l. Separen les línies que tallen la línia l i les que són ultraparal·leles a la línia l.

Les línies ultraparal·leles tenen una sola perpendicular comuna (teorema ultraparal·lel) i divergeixen a banda i banda d'aquesta perpendicular comuna.

Geometria esfèrica o el·líptica

Vegeu també: Geometria esfèrica i Geometria el·líptica

A l'esfera no existeix una línia paral·lela. La línia a és un cercle màxim, l'equivalent a una línia recta en geometria euclidiana. La línia c és equidistant de la línia a però no és un cercle màxim; és un paral·lel de latitud. La línia b és una altra geodèsica que talla la a en dos punts antipodals. Comparteixen dues perpendiculars comunes (una de les quals es mostra en blau).

En geometria esfèrica, totes les geodèsiques són cercles màxims. Els cercles màxims divideixen l'esfera en dos hemisferis iguals i tots els cercles màxims es tallen entre si. Per tant, no hi ha geodèsiques paral·leles a una geodèsica determinada, ja que totes les geodèsiques s'intersequen. Les corbes equidistants a l'esfera s'anomenen paral·lels de latitud anàlegs a les línies de latitud d'un globus terraqüi. Els paral·lels de latitud es poden generar per la intersecció de l'esfera amb un pla paral·lel a un pla que passa pel centre de l'esfera.