Polinomis d'Abel

En matemàtiques, els polinomis d'Abel formen una successió polinòmica, l’n-èsim terme de la qual és de la forma

$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.$

La successió rep el nom de Niels Henrik Abel (1802-1829), un matemàtic noruec.

Aquesta successió polinòmica és de tipus binomial; a la inversa, cada successió polinòmica de tipus binomial es pot obtenir a partir de la successió d'Abel en el càlcul umbral.

Exemples

Per a=1, els polinomis són (successió A137452 a l'OEIS)

$p_{0}(x)=1;$

$p_{1}(x)=x;$

$p_{2}(x)=-2x+x^{2};$

$p_{3}(x)=9x-6x^{2}+x^{3};$

$p_{4}(x)=-64x+48x^{2}-12x^{3}+x^{4};$

Per a=2, els polinomis són

$p_{0}(x)=1;$

$p_{1}(x)=x;$

$p_{2}(x)=-4x+x^{2};$

$p_{3}(x)=36x-12x^{2}+x^{3};$

$p_{4}(x)=-512x+192x^{2}-24x^{3}+x^{4};$

$p_{5}(x)=10000x-4000x^{2}+600x^{3}-40x^{4}+x^{5};$

$p_{6}(x)=-248832x+103680x^{2}-17280x^{3}+1440x^{4}-60x^{5}+x^{6};$

Referències

• Rota, Gian-Carlo; Shen, Jianhong; Taylor, Brian D. «All Polynomials of Binomial Type Are Represented by Abel Polynomials» (en anglès). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze Sér. 4, 25(3–4), 1997, pàg. 731–738.