L'algorisme QMR va ser creat per resoldre el sistema lineal
on
és una matriu quadrada que no requereix ser simètrica.
L'algorisme QMR, de l'anglés Quasi-Minimal Residual es deu a Roland W. Freund i Noël M. Nachtigal, els quals el 1991 van publicar aquest algorisme, el qual es basa en la biortogonalització de Lanczos, una extensió per a matrius no simètriques de la ortogonalització simètrica de Lanczos.
El procés de Biortogonalització per a matrius no simètriques de Lanczos, consisteix a construir dues bases ortogonals als subespais
i
.
Per construir aquestes bases biortogonals en els subespais
i
s'utilitza l'algorisme que es mostra a continuació:
Després d'usar aquest algorisme es garanteix en aritmètica exacta que
si
i
si
. Ara amb els valors
,
i
obtinguts per l'algorisme anterior anem a construir la matriu
com una matriu tridiagonal de la següent forma:
Algorisme Quasi-Minimal Residual
[modifica]
Es construeix la matriu
a partir de la qual es va obtenir en la biortogonalització de Lanczos de la següent forma:
Una altra tècnica que s'utilitza en l'algorisme és la factorització QR, la qual s'obté aplicant les rotacions
obtingudes de la següent forma:
on
i
s'aconsegueixen de la següent forma:
on els termes ![{\displaystyle a_{ii}^{(i-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9bc623c74a6536ed1d655e5c4b3486dd081e8a)
corresponen a les respectives entrades de la matriu després d'aplicar-se les rotacions
.