L'algorisme d'Euclides ampliat o algorisme d'Euclides estès és una millora de l'algorisme d'Euclides de càlcul del màxim comú divisor de dos nombres enters, que dona, a més del màxim comú divisor dels dos nombres, els coeficients de cadascun d'aquests dos nombres a la identitat de Bézout.
Siguin
i
dos nombres enters. L'algorisme d'Euclides consisteix a construir la recurrència finita
en la qual
no és més que el residu de la divisió entera de
i
amb quocient
. La successió és estrictament decreixent i la condició
obliga a que sigui finita. L'últim terme, posem
arriba quan hi ha
que fa
. La successió té, doncs,
termes i
.
Però si ara considerem aquestes altres dues recurrències finites:
amb els valors
de la successió de l'algorisme d'Euclides, resulta que, per
amb
, es té
com es comprova fàcilment per inducció.
Per tant, si
, resulta
i
i
, amb els signes adequats, són els coeficients de
i
a la identitat de Bézout.
Hom sol disposar els càlculs en una graella com aquesta
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
Hom comença obtenint
com a quocient de la divisió entera de
entre
, és a dir,
entre
i
a partir de
. Els termes
i
resulten de
i
. Els termes següents,
,
,
i
s'obtenen de la mateixa manera i en el mateix ordre:
i el procés acaba quan trobem
. Aleshores,
Il·lustrem aquest procés amb un exemple: es tracta de calcular
:
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
que prové de
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
(Les divisions
se sobreentenen enteres) Aleshores,
.