Vés al contingut

Amplificació i simplificació de fraccions

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtica , amplificar una fracció és l'acció de multiplicar tant el numerador com el denominador d'aquesta, per un mateix nombre, amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent[1] a la fracció inicial. La simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .

Amplificació de fraccions

[modifica]

El procediment és vàlid per a tot nombre real diferent de zero, ja que, fent ús de la propietat que té l'element Neutre multiplicador[2] del conjunt de nombres reals (Anell amb unitat) , es pot prendre una fracció que sigui equivalent a 1 (element neutre) de tal manera que el seu numerador i denominador siguin nombres reals iguals no nuls. Això s'escriu així.


Siguin nombres reals qualsevol diferents de zero, llavors s'ha de:



No és vàlida per al real zero perquè la divisió per zero no està definida

Aplicació de fraccions

[modifica]
  • Aquest procediment matemàtic és utilitzat amb freqüència en moltes demostracions matemàtiques, ja que qualsevol expressió que sigui multiplicada per 1 no altera el seu valor. Així doncs, pot crear-se una fracció equivalent a un que ens sigui útil a la nostra demostració. veure exemple 1 .
(Una funció semblant compleix l'element neutre additiu del nombres reals, ja que en sumar zero tampoc s'altera l'expressió).
  • Un altre exemple molt conegut és el d'utilitzar aquesta propietat en la racionalització de fraccions, on es fa servir la propietat de l'element neutre multiplicatiu per treure [3] l'arrel inexacta d'un nombre real del denominador. veure exemple 2.
  • També s'usa per comparar fraccions. Aquí també és vàlida la simplificació, que en el fons és el mateix, ja que fa ús de les mateixes propietats i procediments. veure exemple 3 .

Exemples d'amplificació de fraccions

[modifica]

Exemple 1

  • Demostreu que:
.

Demostració:


Multiplicant per 1 la part dreta de la identitat, hem de:

Després,

.

Que és el que volíem demostrar.

Noteu que aquest procediment és vàlid només si el producte de les tangents de xiy són diferents de menys un.

Exemple 2

  • Racionalitzar l'expressió següent:

Multiplicant per un tenim:


Després,

O també en el cas següent:

  • Racionalitzar l'expressió:

Multiplicant pel conjugat de z dividit en si mateix tenim.

.


Exemple 3

L'amplificació pot usar-se, entre altres coses, per saber quina és la més gran de dues fraccions amb diferent denominador (amplificant la fracció de menor denominador fins a trobar una fracció de la mateixa denominador a l'altra i comparant després els numeradors).

Si es vol saber quina fracció és major:

Amplificar la primera per cinc cinquens i la segunta per tres terços:

És a dir,

La idea és que totes dues tinguin el mateix denominador, així, es comparen els numeradors i es decideix quin és més gran.

podent d'aquesta manera comparar les fraccions:

i establir finalment la relació:


Exemple 4

També es fa servir aquest procediment per sumar fraccions (sumes i restes)

Simplificació de fraccions

[modifica]

En matemàtiques es coneix com a simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .


Exemple:

La fracció 2/4 pot simplificar dividint 2:2 = 1 i 4:2 = 2, de manera que s'obté la fracció 1/2 (2/4 = 1/2). Aquella fracció que no pot ser simplificada rep el nom de fracció irreduïble . Una fracció és irreduïble quan, tant numerador com a denominador són relativament primers, és sigui que no tenen cap divisor comú. Es pot dividir pel qual es pugui per obtenir la fracció corresponent.

Referències

[modifica]
  1. Es diu "fraccions equivalents" al conjunt de fraccions els quocient (o quocients) tenen el mateix valor numèric. (equip = igual/lent = valor) .
  2. Element d'un anell que té la següent propietat. Si per a tot x, x1 = 1x = x , llavors 1 és l'element neutre multiplicatiu de l'anell.
  3. S'usa aquesta expressió per referir-se a l'acció de deixar un nombre racional per mitjà de certs passos, en el denominador.