Càlcul fraccional de conjunts

El càlcul fraccional de conjunts (FCS, de l'anglès fractional calculus of sets) és una metodologia derivada del càlcul fraccional i va ser mencionat per primera vegada a l'article titulat Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. El concepte principal darrere del FCS és la caracterització dels elements del càlcul fraccional utilitzant conjunts degut a la gran quantitat d'operadors fraccionals disponibles. Aquesta metodologia es va originar a partir del desenvolupament del mètode de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors.

Il·lustració d'algunes línies generades pel mètode de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_{0}$ però amb ordres $\alpha$ diferents de l'operador fraccionari implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

Conjunt $O_{x,\alpha }^{n}(h)$ d'operadors fraccionals

El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta amb derivades d'ordre no enter, va sorgir gairebé simultàniament amb el càlcul tradicional. Aquesta emergència va ser en part degut a la notació de Leibniz per a derivades d'ordre enter: ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$. Gràcies a aquesta notació, L’Hôpital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretació de prendre $n={\frac {1}{2}}$ en una derivada. En aquell moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a aquesta pregunta, per la qual cosa simplement va respondre a L’Hôpital en una carta que «... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, se'n derivaran conseqüències útils».

El nom «càlcul fraccional» s'origina a partir d'una pregunta històrica, ja que aquesta branca de l'anàlisi matemàtica estudia derivades i integrals d'un cert ordre $\alpha \in \mathbb {R}$. Actualment, el càlcul fraccional manca d'una definició unificada del que constitueix una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.$

Els operadors fraccionals tenen diverses representacions, però una de les seves propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mesura que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ i la base canònica de $\mathbb {R} ^{m}$ denotada per $\{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}$, el següent operador fraccional d'ordre $\alpha$ es defineix utilitzant notació d'Einstein:

$o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).$

Denotant $\partial _{k}^{n}$ com la derivada parcial d'ordre $n$ respecte al component $k$-èsim del vector $x$, es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:

$O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ i }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ i }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ per almenys un }}k\geq 1\right\}.$

Com a conseqüència, es defineix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a funcions vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, el conjunt es defineix com:

${}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},$

on $[h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ denota el $k$-èsim component de la funció $h$.

Conjunt ${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ d'operadors fraccionals

El conjunt d'operadors fraccionals considerant ordres infinits es defineix com:

${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),$

on sota el producte de Hadamard clàssic es té que:

$o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).$

Operadors matricials fraccionals

Per a cada operador $o_{x}^{\alpha }$, l'operador matricial fraccional es defineix com:

$A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),$

i per a cada operador $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$, es pot definir la següent matriu, corresponent a una generalització de la matriu Jacobiana:

$A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),$

on $A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)$.

Producte de Hadamard modificat

Considerant que, en general, $o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }$, es defineix el següent producte de Hadamard modificat:

$o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{si }}i\neq j\ ({\text{producte de Hadamard tipus horitzontal}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{si }}i=j\ ({\text{producte de Hadamard tipus vertical}})\end{array}}\right.,$

amb el qual s'obté el següent teorema:

Teorema: Grup abelià d'operadors matricials fraccionals

Sigui $o_{x}^{\alpha }$ un operador fraccional tal que $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$. Considerant el producte de Hadamard modificat, es defineix el següent conjunt d'operadors matricials fraccionals:

${\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ i }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)$

que correspon al grup Abeliano generat per l'operador $A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })$.

Demostració

Atès que el conjunt en l'equació (1) es defineix aplicant només el producte de Hadamard tipus vertical entre els seus elements, per a tots $A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))$ es té que:

$A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},$

amb el qual és possible demostrar que el conjunt (1) satisfà les següents propietats d'un grup Abeliano:

$\left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..$

Conjunt ${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ d'Operadors Fraccionals

Sigui $\mathbb {N} _{0}$ el conjunt $\mathbb {N} \cup \{0\}$. Si $\gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}$ i $x\in \mathbb {R} ^{m}$, llavors és possible definir la següent notació multiíndex:

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma !:=\prod _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k}!,&|\gamma |:=\displaystyle \sum _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k},&\displaystyle x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^{m}[x]_{k}^{[\gamma ]_{k}}\end{array}}\\\displaystyle {\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}:={\frac {\partial ^{[\gamma ]_{1}}}{\partial [x]_{1}}}{\frac {\partial ^{[\gamma ]_{2}}}{\partial [x]_{2}}}\cdots {\frac {\partial ^{[\gamma ]_{m}}}{\partial [x]_{m}}}\end{array}}\right..$

Aleshores, considerant una funció $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ i l'operador fraccional:

$s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},$

es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:

$S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\ :\ \exists s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)\ {\text{amb }}\ o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{s}(h)\ \forall s\leq n^{2}\ {\text{ i }}\ \lim _{\alpha \to k}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)={\frac {\partial ^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}}h(x)\ \forall \alpha ,|\gamma |\leq n\right\}.$

D'on s'obtenen els següents resultats:

${\text{Si }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..$

Com a conseqüència, considerant una funció $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:

${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }\left([h]_{k}\right)\ \forall k\leq m\right\}.$

Conjunt ${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)$ d'Operadors Fraccionals

Considerant una funció $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ i el següent conjunt d'operadors fraccionals:

${}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Aleshores, prenent una bola $B(a;\delta )\subset \Omega$, és possible definir el següent conjunt d'operadors fraccionals:

${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h)\ {\text{ i }}\ t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\right\},$

el qual permet generalitzar l'expansió en sèrie de Taylor d'una funció vectorial en notació multiíndex. Com a conseqüència, és possible obtenir el següent resultat:

${\text{Si }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\\=&\displaystyle h(a)+\sum _{k=1}^{n}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[h]_{j}(a)\left[(x-a)\right]_{k}+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\end{array}}\right..$

Mètode de Newton-Raphson fraccional

Sigui $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ una funció amb un punt $\xi \in \Omega$ tal que $\|f(\xi )\|=0$. Llavors, per a algun $x_{i}\in B(\xi ;\delta )\subset \Omega$ i un operador fraccional $t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)$, és possible definir un tipus d'aproximació lineal de la funció $f$ al voltant de $x_{i}$ de la següent manera:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},$

el que es pot expressar de forma més compacta com:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),$

on $\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)$ denota una matriu quadrada. D'altra banda, si $x\to \xi$ i atès que $\|f(\xi )\|=0$, s'infereix el següent:

$0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).$

Com a conseqüència, definint la matriu:

$A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},$

és possible definir el següent mètode iteratiu fraccional:

$x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,$

que correspon al cas més general del mètode de Newton-Raphson fraccional.

Il·lustració d'algunes línies generades pel mètode de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_{0}$, però amb diferents ordres $\alpha$ de l'operador fraccional implementat. El mètode de Newton–Raphson fraccional genera generalment línies que no són tangents a la funció $f$ les arrels de la qual es busquen, a diferència del mètode clàssic de Newton–Raphson. Font: MDPI

L'ús d'operadors fraccionaris en els mètodes de punt fix ha estat àmpliament estudiat i citat en diverses fonts acadèmiques. Exemples d'això es poden trobar en diversos articles publicats en revistes de renom, com els presentats a ScienceDirect (1), (2), Springer (3), World Scientific (4), i MDPI (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12). També s'inclouen estudis a Taylor & Francis (Tandfonline) (13), Cubo (14), Revista Mexicana de Ciències Agrícoles (15), Journal of Research and Creativity (16), MQR (17), i Актуальные вопросы науки и техники (18). Aquests treballs destaquen la rellevància i l'aplicabilitat dels operadors fraccionaris en la resolució de problemes.

Bibliografia

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240

• Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459

• Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008

• Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231

• Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263

• Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. Fuzzy fractional Caputo-type numerical scheme for solving fuzzy nonlinear equations. Fractional Differential Equations 2024, 167–175. DOI: 10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3

• Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0

• Al-Nadhari, A.M.; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. The efficient geometrical nonlinear analysis method for civil engineering structures. Asian Journal of Civil Engineering 2024, 25(4), 3565–3573. DOI: 10.1007/s42107-024-00996-z

• Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, S.F.; Momani, S. On efficient fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all roots of polynomial equations with biomedical engineering applications. Fractals 2023, 31(04), 2340075. DOI: 10.1142/S0218348X23400753

• Wang, X.; Jin, Y.; Zhao, Y. Derivative-free iterative methods with some Kurchatov-type accelerating parameters for solving nonlinear systems. Symmetry 2021, 13(6), 943. DOI: 10.3390/sym13060943

• Tverdyi, D.; Parovik, R. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation. Fractal and Fractional 2021, 6(1), 23. DOI: 10.3390/fractalfract6010023

• Tverdyi, D.; Parovik, R. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect. Fractal and Fractional 2022, 6(3), 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163

• Srivastava, H.M. Editorial for the Special Issue “Operators of Fractional Calculus and Their Multidisciplinary Applications”. Fractal and Fractional 2023, 7(5), 415. DOI: 10.3390/fractalfract7050415

• Shams, M.; Carpentieri, B. Efficient inverse fractional neural network-based simultaneous schemes for nonlinear engineering applications. Fractal and Fractional 2023, 7(12), 849. DOI: 10.3390/fractalfract7120849

• Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, J.R.; Vassileva, M.P. Solving Nonlinear Transcendental Equations by Iterative Methods with Conformable Derivatives: A General Approach. Mathematics 2023, 11(11), 2568. DOI: 10.3390/math11112568

• Shams, M.; Carpentieri, B. On highly efficient fractional numerical method for solving nonlinear engineering models. Mathematics 2023, 11(24), 4914. DOI: 10.3390/math11244914

• Martínez, F.; Kaabar, M.K.A.; Martínez, I. Novel Results on Legendre Polynomials in the Sense of a Generalized Fractional Derivative. Mathematical and Computational Applications 2024, 29(4), 54. DOI: 10.3390/mca29040054

• Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S.; Salman, M.A.; Shah, M.A. On family of the Caputo-type fractional numerical scheme for solving polynomial equations. Applied Mathematics in Science and Engineering 2023, 31(1), 2181959. DOI: 10.1080/27690911.2023.2181959

• Nayak, S.K.; Parida, P.K. Global convergence analysis of Caputo fractional Whittaker method with real world applications. Cubo (Temuco) 2024, 26(1), 167–190. DOI: 10.56754/0719-0646.2601.167

• Rebollar-Rebollar, S.; Martínez-Damián, M.Á.; Hernández-Martínez, J.; Hernández-Aguirre, P. Óptimo económico en una función Cobb-Douglas bivariada: una aplicación a ganadería de carne semi extensiva. Revista mexicana de ciencias agrícolas 2021, 12(8), 1517–1523. DOI: 10.29312/remexca.v12i8.2915

• Mogro, M.F.; Jácome, F.A.; Cruz, G.M.; Zurita, J.R. Sorting Line Assisted by A Robotic Manipulator and Artificial Vision with Active Safety. Journal of Robotics and Control (JRC) 2024, 5(2), 388–396. DOI: 10.18196/jrc.v5i2.20327

• Luna-Fox, S.B.; Uvidia-Armijo, J.H.; Uvidia-Armijo, L.A.; Romero-Medina, W.Y. Exploración comparativa de los métodos numéricos de Newton-Raphson y bisección para la resolución de ecuaciones no lineales. MQRInvestigar 2024, 8(2), 642–655. DOI: 10.56048/MQR20225.8.2.2024.642-655

• Tvyordyj, D.A.; Parovik, R.I. Mathematical modeling in MATLAB of solar activity cycles according to the growth-decline of the Wolf number. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki 2022, 41(4), 47–64. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-47-65