Coeficient de determinació

Aquest diagrama de dispersió mostra dues línies de regressió empíriques concretes d'una regressió simple lineal, cadascuna de les quals es va disposar de la millor manera possible a través del "núvol de punts" de la mesura. Es pot veure que la línia recta superior proporciona un millor ajust a les dades que la inferior. Formalment, això es pot reconèixer per un valor R quadrat més alt (${\mathit {R}}^{2}=98{,}92\,\%$ vs. ${\mathit {R}}^{2}=57{,}13\,\%$).

El coeficient de determinació, també el coeficient de determinació (del llatí determinatio “delimitació, determinació” o determinare “límit”, “determinar”, “determinar” i coefficient “participar”), es denota per ${\mathit {R}}^{2}$, és una figura clau en les estadístiques per avaluar la bondat d'ajust d'una regressió. El coeficient de determinació es basa en la descomposició de la suma de quadrats, en la qual la suma total de quadrats es descompon en la suma de quadrats explicada pel model de regressió d'una banda i la suma residual de quadrats de l'altra. Tanmateix, hi ha diverses definicions diferents i no equivalents del coeficient de determinació.

El coeficient de determinació està estretament relacionat amb altres mesures de qualitat del model per provar la funció de regressió, com ara: Per exemple, l' error estàndard de regressió i l'estadística F. Com que el coeficient de determinació augmenta en incloure variables addicionals i hi ha un risc de sobreajustament, el coeficient de determinació ajustat s'utilitza normalment per a aplicacions pràctiques. En contrast amb el coeficient de determinació no ajustat, el coeficient de determinació ajustat "castiga" la inclusió de totes les variables explicatives afegides.

Tot i que el coeficient de determinació és la mesura més utilitzada per quantificar la bondat global d'ajust d'una regressió, sovint s'interpreta i s'aplica malament, també perquè moltes definicions alternatives del coeficient de determinació no són equivalents en regressió a través de l'origen.

El coeficient de determinació és una mesura pura de connexió. Per tant, no és possible utilitzar el coeficient de determinació per demostrar una relació causal directa entre les variables. A més, el coeficient de determinació només mostra la mida de la relació entre les variables, però no si aquesta relació és estadísticament significativa.

El pseudocoeficient de determinació i la desviació generalitzen el coeficient de determinació.

Recta de regressió ${\hat {y}}$ com a estimador (funció model) de la connexió entre l'alçada i el pes dels subjectes de prova. ${\hat {y}}(x_{i})={\hat {y}}_{i}$ és el pes estimat del subjecte a una alçada determinada $x_{i}$. L'error residual (el residu) ${\hat {\varepsilon }}_{i}$ representa la diferència entre el valor mesurat $y_{i}$ i valor estimat ${\hat {y}}_{i}$ representa.

Interpretació

R² és una mesura de la bondat d'ajust d'un model. En regressió, el coeficient de determinació R² és una mesura estadística de com les prediccions de regressió s'aproximen als punts de dades reals. Una R² d'1 indica que les prediccions de regressió s'ajusten perfectament a les dades.

Els valors de R² fora del rang 0 a 1 es produeixen quan el model s'ajusta pitjor a les dades que el pitjor predictor de mínims quadrats possible (equivalent a un hiperpla horitzontal a una alçada igual a la mitjana de les dades observades). Això passa quan s'ha escollit un model incorrecte o s'han aplicat restriccions sense sentit per error. Si s'utilitza l'equació 1 de Kvålseth (aquesta és l'equació que s'utilitza més sovint), R² pot ser menor que zero. Si s'utilitza l'equació 2 de Kvålseth, R² pot ser més gran que un.

$R^{2}=1-{\frac {\color {blue}{SS_{\text{res}}}}{\color {red}{SS_{\text{tot}}}}}$Com millor s'ajusta la regressió lineal (a la dreta) a les dades en comparació amb la mitjana simple (al gràfic de l'esquerra), més proper serà el valor de $R^{2}$ és a 1. Les àrees dels quadrats blaus representen els residus al quadrat respecte a la regressió lineal. Les àrees dels quadrats vermells representen els residus al quadrat respecte al valor mitjà.

En tots els casos en què s'utilitza R², els predictors es calculen mitjançant una regressió ordinària de mínims quadrats: és a dir, minimitzant SS _res. En aquest cas, R² augmenta a mesura que augmenta el nombre de variables del model (R² és monòton augmentant amb el nombre de variables incloses; mai disminuirà). Això il·lustra un inconvenient d'un possible ús de R², on es podria continuar afegint variables (regressió de l'aigüera de la cuina) per augmentar el valor de R². Per exemple, si s'està intentant predir les vendes d'un model de cotxe a partir del quilometratge de gasolina del cotxe, el preu i la potència del motor, es poden incloure factors tan irrellevants com la primera lletra del nom del model o l'alçada de l'enginyer principal que dissenya. el cotxe perquè la R² mai disminuirà a mesura que s'afegeixin variables i probablement experimentarà un augment només a causa de l'atzar.

Això condueix a l'enfocament alternatiu de mirar la R² ajustada. L'explicació d'aquesta estadística és gairebé la mateixa que R² però penalitza l'estadística ja que s'inclouen variables addicionals al model. En casos diferents de l'ajustament per mínims quadrats ordinaris, l'estadística R² es pot calcular com l'anterior i encara pot ser una mesura útil. Si l'ajust és per mínims quadrats ponderats o mínims quadrats generalitzats, es poden calcular versions alternatives de R² adequades a aquests marcs estadístics, mentre que la R² "crua" encara pot ser útil si s'interpreta més fàcilment. Els valors de R² es poden calcular per a qualsevol tipus de model predictiu, que no necessita tenir una base estadística.