Funció monòtona

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una funció entre conjunts ordenats es diu monòtona (o isotònica ) si conserva l'ordre donat. Les funcions d'aquesta classe van sorgir primerament en càlcul, i van ser després generalitzades a l'entorn més abstracte de la teoria de l'ordre. Encara que els conceptes generalment coincideixen, les dues disciplines han desenvolupat una terminologia lleugerament diferent, mentre en càlcul es parla de funcions monòtonament creixents i monòtonament decreixents (o simplement creixents i decreixents ), en la teoria de l'ordre es fan servir els termes monòtona i antítona , o es parla de funcions que conserven i inverteixen l'ordre.

Definició general[modifica | modifica el codi]

Sigui

 F: P \to Q

una funció entre dos conjunts P i Q , on cada conjunt té un ordre parcial (els dos es denotarà per ≤). En anàlisi matemàtica es parla de funcions entre subconjunts dels reals, i l'ordre ≤ no és altre que l'ordre usual de la recta real, encara que això no és essencial per a la definició.

La funció f és monòtona si, sempre que xi , s'ha f ( x ) ≤ f ( i ). En altres paraules, una funció monòtona és una que conserva l'ordre.

Monòtona en càlcul i anàlisi[modifica | modifica el codi]

En càlcul no hi ha usualment necessitat d'invocar els mètodes abstractes de la teoria de l'ordre. Com ja es va assenyalar, les funcions s'estableixen entre (subconjunts de) nombres reals, ordenats de forma natural.

Per la forma de la gràfica d'una funció monòtona en els reals, com funcions s'anomenen també monòtonament creixents (o no decreixent), respectivament.

Exemple gràfic[modifica | modifica el codi]

A continuació es mostren tres gràfiques de funcions qualssevol. La primera d'elles és una funció estrictament creixent, ja que conserva l'ordre ascendent durant tot el recorregut de la funció. La segona d'elles és escrictamente decreixent, ja que conserva l'ordre descendent durant tot el recorregut de la funció. L'última d'elles és una funció amb un recorregut amb parts on la funció és creixent i parts on és decreixent (presenta màxims i mínims relatius).

Funció monòtona creixent.
Funció monòtona creixent.
Funció monòtona decreixent.
Funció monòtona decreixent.
Funció no monòtona
Funció no monòtona.

Aplicacions i resultats bàsics[modifica | modifica el codi]

Monotonia En matemàtiques, cadascuna de les següents propietats d'una funció f : RR implica la següent:

  • f és monòtona.
  • f té un límit per l'esquerra i per la dreta en qualsevol punt del seu domini de definició.
  • f només pot tenir discontinuïtats de salt.
  • f només pot tenir una quantitat enumerable de discontinuïtats.

Aquestes propietats són la raó per la qual les funcions monòtones són útils en l'anàlisi matemàtica. Dos importants fets que es dedueixen que una funció sigui monòtona són:

  • Si f és una funció monòtona definida en un interval I , llavors f és derivable gairebé sempre en I , és a dir, el conjunt de punts x en I on f no és diferenciable té mesura de Lebesgue 0.
  • Si f és una funció monòtona definida en un interval [ a , b ], llavors f és Riemann-integrable.

Una important aplicació de les funcions monòtones és en probabilitat. Si X és una variable aleatòria, la seva funció de distribució

 F_X (x) = P (X \le x)

és una funció creixent.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]