Distribució de probabilitat

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una funció de distribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor de Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
Percentatges de probabilitat a la distribució normal.

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a , . Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1[modifica]

Molts autors [1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general , on és un conjunt arbitrari i és una família de subconjunts d' que té estructura de -àlgebra:

  1. .
  2. Si , llavors, , on designa el complementari del conjunt .
  3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, , aleshores .

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació que compleix

  1. .
  2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,, disjunts dos a dos: si , tenim

Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general .

Definició 2[modifica]

Per a d'altres autors,[3] distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals o sobre .

Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable on és la -àlgebra de Borel sobre , .

Exemples[modifica]

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per

En particular, per a l'interval té probabilitat
2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres i és la probabilitat determinada per:
i si . Aleshores, per a qualsevol ,

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rn[modifica]

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre :[4] una mesura es diu que és

  • discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que , on és el complementari del conjunt .
  • contínua si per a qualsevol .
  • singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i on és la mesura de Lebesgue a .
  • absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt tal que , tenim que .


Quan és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. [4] [5] Existeixen tres mesures, discreta, contínua singular i absolutament contínua, tals que

Aquestes mesures són úniques. La mesura (respectivament i ) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de . La mesura s'anomena la part contínua de . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si és discreta, aleshores i .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si és -finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció mesurable tal que
La funció s'anomena la funció de densitat de .
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a . Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat sobre és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que . O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i .

Funcions de distribució unidimensionals[modifica]

Sigui una probabilitat sobre . La seva funció de distribució és la funció definida per:

Té les següents propietats:[6]

(a) és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si aleshores .
(b) és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol .
(c)

Per posterior us, és convenient observar que, si , atès que

tenim que

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució podem construir una distribució de probabilitat a definint-la primer sobre els intervals de la forma :

i estenent-la a tot [7] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat a i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a i les funcions de distribució.

Exemples[modifica]

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és

És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres i : la funció de distribució és una funció esglaonada:

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc[modifica]

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria[modifica]

Sigui un espai de probabilitat i una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de , o senzillament, distribució de , o llei de és la probabilitat a definida per

La funció de distribució de s'anomena la funció de distribució de , i ve donada per

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria , la seva funció de distribució és la funció definida per

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui una variable aleatòria amb funció de distribució >> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:[8]

Donada una funció de distribució , existeix un espai de probabilitat i una variable aleatòria tal que la seva funció de distribució és .



Igualtat en distribució de variables aleatòries[modifica]

Considerem dues variables aleatòries i , que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per i les seves distribucions. Es diu que i son iguals en distribució o en llei si . En aquest cas, s'escriu Evidentment, si i són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a .

Exemples[modifica]

  1. Juguem amb un dau perfecte i considerem la variable que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui i la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i representa el resultat del primer dau i el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau,

Igualtat quasi segura de variables aleatòries[modifica]

Es diu que dues variables aleatòries (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si . S'escriu

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries[modifica]

Considerem una successió de variables aleatòries i sigui una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució i respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a si

Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a Rn[modifica]

Considerem una probabilitat a . La seva funció de distribució és la funció definida per

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de en negretes; donats i direm que , si Per ,

Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definim

Per exemple, si , ,

Per , amb , , amb ,

Vegeu la Figura 1.

Retornant al cas general, tenim

on


Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció té les següents propietats:[9]

(a) Per a qualsevol parell tenim que
(b) És contínua per la dreta: per qualsevol
(c)
i

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució -dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a mitjançant

Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a i les funcions de distribució -dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori[modifica]

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori a la probabilitat sobre induïda per ell :

La funció de distribució de és la funció definida per

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions:

Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribució -dimensional , existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori tal que la seva funció de distribució és .[10]

Referències[modifica]

  1. Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. Introduction to probability. 2nd ed. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6. ISBN 978-1-886529-23-6. 
  2. DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13. ISBN 0-201-64405-3. 
  3. Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2. ISBN 0-521-55302-4. 
  4. 4,0 4,1 Sato, Ken-iti; 佐藤, 健一. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 174. ISBN 0-521-55302-4. 
  5. Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 9. ISBN 0-12-199450-3. 
  6. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47. ISBN 84-8338-091-9. . Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
  7. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47. ISBN 84-8338-091-9. 
  8. Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 110. ISBN 0-412-05221-0. 
  9. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68. ISBN 84-8338-091-9. 
  10. Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 111. ISBN 0-412-05221-0. 

Bibliografia[modifica]






A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de probabilitat