 |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a
,
. Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre
induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre
i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.
Molts autors [1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general
, on
és un conjunt arbitrari i
és una família de subconjunts d'
que té estructura de
-àlgebra:
.
- Si
, llavors,
, on
designa el complementari del conjunt
.
- Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments,
, aleshores
.
En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació
que compleix
.
- Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,
, disjunts dos a dos: si
, tenim
Per a molts autors,
una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general .
|
Per a d'altres autors,[3] distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals
o sobre
.
1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per

En particular, per a

l'interval
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
té probabilitat
![{\displaystyle p{\big (}[a,b]{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-x^{2}/2}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cd2c7407a144b8af3b2157c4dff9f9ed8c0201)
2. Una
distribució de probabilitat binomial de paràmetres

i

és la probabilitat determinada per:

i

si

. Aleshores, per a qualsevol

,

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.
Funcions de distribució unidimensionals[modifica]
Sigui
una probabilitat sobre
. La seva funció de distribució és la funció
definida per:
![{\displaystyle F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748d9be1a58a4036d8470f9e4173a0951cb290d2)
Té les següents propietats:
[4]
- (a)
és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si
aleshores
.
- (b)
és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol
.
- (c)

Per posterior us, és convenient observar que, si
, atès que
![{\displaystyle (-\infty ,b]=(-\infty ,a]\cup (a,b],\quad {\text{i}}\quad (-\infty ,a]\cap (a,b]=\emptyset ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f24602a83d3f83efe538c1f527a1ebfeab338cd)
tenim que
![{\displaystyle F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf9837516435109978b7f69ad23561a38472d08)
Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció
que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.
Donada una funció de distribució
podem construir una distribució de probabilitat
a
definint-la primer sobre els intervals de la forma
:
![{\displaystyle q{\big (}(a,b]{\big )}=G(b)-G(a),\ a<b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220dec50b5238245218126cea6384f187a070dda)
i estenent-la a tot
[5] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim
Equivalència entre distribucions de probabilitat a i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a i les funcions de distribució.
|
1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és

És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.
2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres
i
: la funció de distribució és una funció esglaonada:

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc[modifica]
Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a
és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.
Distribució o llei d'una variable aleatòria[modifica]
Sigui
un espai de probabilitat i
una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de
, o senzillament, distribució de
, o llei de
és la probabilitat a
definida per

La funció de distribució

de

s'anomena la
funció de distribució de 
, i ve donada per
![{\displaystyle F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}=P{\big (}\{X\in (-\infty ,x]\}{\big )}=P(X\leq x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54d8eaa00a3b58b857bb2f550ed6d380fe7b9fd)
Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui
una variable aleatòria amb funció de distribució
>> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:
Prova
Tal com hem dit, la funció de distribució

determina una probabilitat

en

. Escrivim

i sigui

la variable aleatòria

Aleshores, la funció de distribució de

, que designarem per

, és:
![{\displaystyle F_{X}(x)=P(\{X\leq x\})=p({\big (}-\infty ,x]{\big )}=F(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d7a01833c8d596cdfbced3001f582bada92edf)
Igualtat en distribució de variables aleatòries[modifica]
Considerem dues variables aleatòries
i
, que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per
i
les seves distribucions. Es diu que
i
son iguals en distribució o en llei si
. En aquest cas, s'escriu
Evidentment, si
i
són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a
.
- Juguem amb un dau perfecte i
considerem la variable
que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui
i
la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
- Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i
representa el resultat del primer dau i
el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau, 
Igualtat quasi segura de variables aleatòries[modifica]
Es diu que dues variables aleatòries
(definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si
. S'escriu

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.
Prova
Siguin

i designem per

i

les seves funcions de distribució. Aleshores, atès que l'esdeveniment

té probabilitat 1,

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries[modifica]
Considerem una successió de variables aleatòries
i sigui
una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució
i
respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a
si

Un cas especialment important de convergència en llei és el
Teorema central del límit.
Considerem una probabilitat
a
. La seva funció de distribució és la funció
definida per
![{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=p{\big (}(-\infty ,x_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,x_{n}]{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189b7c4e884979d7b643898bbc4d77606ca36a08)
Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de
en negretes; donats
i
direm que
, si
Per
,
Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional
definim

Per exemple, si

,

,
![{\displaystyle \Delta _{a,b}F=F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3188913cdb19b0a09bf22c1e40e20494589bface)
Per
, amb
,
, amb
,
![{\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=F(b_{1},b_{2})-F(b_{1},a_{2})-F(a_{1},b_{2})+F(a_{1},a_{2})=p{\big (}(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]{\big )}.\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6933e7daa71a976f9d2e78758b259ff61c701706)
Vegeu la Figura 1.
Prova
Descomponem el conjunt
![{\displaystyle (-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]=(-\infty ,b_{1}]\times (-\infty ,b_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8667aaa21f861f8754f582d26b829c7cb8f7d716)
de la següent manera:
![{\displaystyle {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}{\big ]}={\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}{\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c1e52121f5d2b921c9dbf4b5903d604fc8001c)
Però els conjunts de la dreta no són disjunts dos a dos, sinó que
![{\displaystyle {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cap {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}={\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f588f5b6d026f433f42b46e4f7b8b431313dff3)
Aplicant la fórmula de la probabilitat de la unió de tres conjunts tenim
![{\displaystyle p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2})]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2})]{\big )}-p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}]{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c047887d122b237203c5803acf686a20e79d8cb2)
d'on resulta la fórmula (*).
Retornant al cas general, tenim
![{\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07c61488c49534625a1bce31e3a332b745b2cfd)
on
Propietats de la funció de distribució n-dimensional
La funció
té les següents propietats:[6]
- (a) Per a qualsevol parell
tenim que 
- (b) És contínua per la dreta: per qualsevol

- (c)

i

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció
que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució
-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a
mitjançant
![{\displaystyle q{\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}G,\ \quad {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41645fdd5ff1204df68fcba04786d6fd83388683)
Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a

i les funcions de distribució

-dimensionals.
Distribució o llei d'un vector aleatori[modifica]
S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori
a la probabilitat sobre
induïda per ell :

La funció de distribució de

és la funció
![{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cdc4f881f2e15bfe75becb7d2f1a0e88a94b4c)
definida per

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions:

Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.
- ↑ Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. Introduction to probability. 2nd ed. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6. ISBN 978-1-886529-23-6.
- ↑ DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13. ISBN 0-201-64405-3.
- ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47. ISBN 84-8338-091-9. . Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
- ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47. ISBN 84-8338-091-9.
- ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68. ISBN 84-8338-091-9.
Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. W.. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. New York: Wiley, 1992. ISBN 0-471-54897-9.
Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol 1. 2nd ed. Nova York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9.
Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol2. 2nd ed. New York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9.
Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. New York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1.
Kotz, S.; Balakrihsnan, N.; Johnson, N. L.. Continuous multivariate distributions. Vol. 1, Models and applications.. 2nd ed.. New York: Wiley, 2000. ISBN 0-471-65403-5.
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|