Distribució gamma

Distribució Gamma

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribution de Tweedie, família exponencial, Generalized gamma distribution (en) , distribució matriu gamma, distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$k\in (0,\infty )$ forma $\theta \in (0,\infty )$ escala
Suport	$x\in (0,\infty )$
fdp	$f(x)={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}e^{-x/\theta }$
FD	$F(x)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Esperança matemàtica	$k\,\theta$
Mediana	No té expressió tancada
Moda	$(k-1)\theta ,\ {\text{si}}\ k\geq 1$
Variància	$k\,\theta ^{2}$
Coeficient de simetria	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtosi	${\frac {6}{k}}$
Entropia	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}$
FGM	$(1-\theta t)^{-k},\ {\text{per a }}t<{\frac {1}{\theta }}$
FC	$(1-\theta it)^{-k}$
Informació de Fisher	$I(k,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(k)&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&k\theta ^{-2}\end{pmatrix}}$
Mathworld	GammaDistribution

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres que inclouen com a casos particulars moltes distribucions importants, com la distribució exponencial, khi quadrat o Erlang. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ. La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al..

Funció de densitat i parametritzacions

Hi ha dues parametritzacions diferents de la distribució gamma. La primera utilitza un paràmetre d'escala $\theta \in (0,\infty )$ i un paràmetre de forma $k\in (0,\infty )$, i és àmpliament utilitzada tant en Estadística com en Probabilitats; a més, és la més habitual en el programari estadístic. La funció de densitat és

$$f(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}\,e^{-x/\theta },&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0,\end{cases}}$$

on $\Gamma (k)$ és la funció gamma. Si $X$ és una variable aleatòria amb aquesta distribució, s'escriu $X\sim \Gamma (k,\theta )$ o $X\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )$ .

La segona parametrització utilitza un paràmetre d'escala inversa, que també s'anomena paràmetre de taxa (rate parameter), $\beta \in (0,\infty )$, $\beta =1/\theta$, i el paràmetre de forma $\alpha =k\in (0,\infty )$. Aquesta parametrització també s'utilitza molt, per exemple en teoria de la probabilitat o en Estadística bayesiana. La funció de densitat, amb aquesta parametrització és

$$f(x;\alpha ,\beta )={\begin{cases}{\dfrac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,x^{\alpha -1}\,e^{-\beta x},&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0.\end{cases}}$$

En aquest article utilitzarem la primera parametrització.

Funció de distribució

$$F(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\Gamma (k)}}\gamma {\big (}k,{\dfrac {x}{\theta }}{\big )},&{\text{si}}\ x\geq 0\\0,&{\text{si}}\ x<0,\end{cases}}$$

on $\gamma (k,x)$ és la funció gamma incompleta inferior.

Propietat d'escala

Sigui $X\sim \Gamma (k,\theta )$. Aleshores per qualsevol $c>0$, tenim que $c\,X\sim \Gamma (k,c\,\theta )$. Aquesta propietat es comprova calculant la funció de densitat de $c\,X$.

En particular, si $X\sim \Gamma (k,\theta )$, aleshores ${\frac {X}{\theta }}\sim \Gamma (k,1)$ i, recíprocament, si $Y\sim \Gamma (k,1)$, aleshores $\theta \,Y\sim \Gamma (k,\theta )$; Johnson et al anomenen distribució gamma estàndard a la distribució $\Gamma (k,1)$.

En termes de les funcions de densitat tenim la relació

$$f(x;k,\theta )={\frac {1}{\theta }}\,f{\Big (}{\frac {x}{\theta }};k;1{\Big )},$$

que és una de les característiques dels paràmetres d'escala.

La propietat d'escala permet reduir diverses propietats (per exemple el càlcul dels moments) a casos més senzills.

Moments

La distribució gamma té moments de tots els ordres. Si $X\sim \Gamma (k,\theta )$, aleshores per a $n\geq 1$,

$$E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad E[X^{n}]=\theta ^{n}k(k+1)\cdots (k+n-1),\ n\geq 2.$$

En particular,

$$E[X^{2}]=\theta ^{2}k(k+1),$$

d'on

$${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-{\big (}E[X]{\big )}^{2}=\theta ^{2}k.$$

$$E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(X)=\theta ^{2}k.$$

Prova

Calcularem els moments pel cas de la distribució gamma estàndard, és dir, amb $\theta =1$, dels quals es dedueixen els del cas general per la propietat d'escala. Reduirem la integral que intervé el càlcul dels moments a la funció gamma: Concretament, si $Y\sim \Gamma (k,1)$, llavors

$$E[Y^{n}]={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{n+k-1}e^{-x}\,dx={\frac {\Gamma (n+k)}{\Gamma (k)}}=(k+n-1)(k-n-2)\cdots k,$$

on a la darrera igualtat igualtat hem utilitzat l'equació funcional de la funció gamma $\Gamma (t+1)=t\,\Gamma (t),\ t>0$. Per a $X\sim \Gamma (k,\theta )$, per la propietat d'escala, amb les notacions anteriors, tenim que

$$E[X^{n}]=E{\big [}(\theta Y)^{n}{\big ]}=\theta ^{n}\,E[Y^{n}].$$

Funció generatriu de moments i funció característica

La distribució gamma $\Gamma (k,\theta )$ té funció generatriu de moments en una semirecta que conté el zero:

$$M(t)={\frac {1}{(1-\theta t)^{k}}},\quad t\in (-\infty ,{\frac {1}{\theta }}).$$

Prova

De nou, començarem per la distribució gamma estàndard: Si $Y\sim \Gamma (k,1)$, llavors

$$M_{Y}(t)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{tx}x^{k-1}e^{-x}\,dx={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x(1-t)}x^{k-1}\,dx.$$

Si $t<1$, fem el canvi $x=y/(1-t)$ i tenim

$$M_{Y}(t)={\frac {1}{\Gamma (k)\,(1-t)^{k}}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-y}y^{k-1}\,dy={\frac {1}{(1-t)^{k}}}.$$

.

En el cas general, $X\sim \Gamma (k,\theta )$, per la propietat d'escala, si definim $Y=X/\theta$, llavors $Y\sim \Gamma (k,1)$. Per les propietats de les funcions generatrius, per $t<1/\theta$,

$$M_{X}(t)=E{\big [}e^{tX}{\big ]}=E{\big [}e^{t\theta Y}{\big ]}=M_{Y}(t\theta )={\frac {1}{(1-t\theta )^{k}}}.$$

La funció característica és

$$\varphi (t)={\frac {1}{(1-i\theta t)^{k}}}=\exp {\Big \{}-k\log(1-i\theta t){\Big \}},\quad t\in \mathbb {R} ,$$

on $\log$ és la branca principal del logaritme, és a dir, amb la part imaginària a $(-\pi ,\pi )$ .

Caràcter reproductiu

Si $X_{1}\sim \Gamma (k_{1},\theta )$ i $X_{2}\sim \Gamma (k_{2},\theta )$ independents, aleshores $X_{1}+X_{2}\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )$; és diu que la distribució $\Gamma (k,\theta )$ és reproductiva respecte el paràmetre $k$ . Aquesta propietat es demostra utilitzant les funcions característiques (o les funcions generatrius de moments) de $X_{1}$ i $X_{2}$.

Més generalment, si $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents, $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )$ , aleshores

$$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta {\big )}.$$

.

La distribució gamma és infinitament divisible

La distribució gamma $\Gamma (k,\theta )$ és infinitament divisible (o infinitament descomposable), això és, sigui $X\sim \Gamma (k,\theta )$, aleshores per a qualsevol enter $n\geq 1$, existeixen (en algun espai de probabilitat) variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n}$ independents i idènticament distribuïdes tals que

$$X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ X_{1}+\cdots +X_{n},$$

on ${\overset {\mathcal {D}}{=}}$ indica la igualtat en distribució o llei. Aquí cal prendre $X_{i}\sim \Gamma (k/n,\theta ),\ i=1,\dots ,n$ .

La representació de Lévy-Khintchine de la funció característica és

$$\varphi (t)=\exp {\Big \{}k\int _{0}^{\infty }{\big (}e^{itx}-1{\big )}\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}}\,dx{\Big \}}.$$

Per tant, la mesura de Lévy té densitat

$$g(x)=k\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}},\quad x>0,$$

i la part gaussiana i la deriva (drift) són zero (vegeu Sato per a les definicions d'aquests termes).

Aproximació de la distribució gamma per la distribució normal

En aquest apartat suposarem que el paràmetre $k$ és un nombre natural. Sigui $X_{k}\sim \Gamma (k,1)$, aleshores, com conseqüència del teorema central de límit,

$${\frac {X_{k}-k}{\sqrt {k}}}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).$$

(Vegeu les notacions a convergència de variables aleatòries.) En altres paraules, per a $k$ gran, $X_{k}$ és aproximadament normal ${\mathcal {N}}(k,k)$ .

Prova

Sigui $T_{1},T_{2},\dots$ una successió de variables aleatòries independents totes amb llei $\Gamma (1,1)$ (és dir, amb distribució exponencial de paràmetre 1). Tenim que $E[T_{i}]=1$ i ${\text{Var}}(T_{i})=1$. Llavors, pel teorema central del límit,

$${\frac {\sum _{i=1}^{k}T_{i}-k}{\sqrt {k}}}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).$$

Però per la propietat reproductiva, $\sum _{i=1}^{k}T_{i}\sim \Gamma (k,1)$.

Però aquesta aproximació a la distribució normal és molt lenta i el següent resultat dóna una aproximació més ràpida: Sigui $X_{k}\sim \Gamma (k,1)$. Aleshores

$$2{\Big (}{\sqrt {X_{k}}}-{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).$$

És a dir, per a $k$ gran, ${\sqrt {X_{k}}}$ és aproximadament normal ${\mathcal {N}}{\Big (}{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}},{\tfrac {1}{4}}{\Big )}$.

Prova

Considerem la variable aleatòria

$$Z_{k}={\sqrt {X_{k}}}-{\sqrt {k-{\frac {1}{4}}}}.$$

Per la fórmula de canvi de variables, la funció de densitat de $Z_{k}$ és

$$g_{k}(x)={\frac {2}{(k-1)!}}\,{\Big (}x+{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}^{2k-1}\exp {\Big \{}-{\Big (}x+{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}^{2}{\Big \}}.$$

Llavors es comprova que

$$\lim _{k\to \infty }g_{k}(x)={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-2x^{2}},$$

que és la funció de densitat d'una distribució normal ${\mathcal {N}}(0,{\tfrac {1}{4}})$. De les propietats de la convergència en distribució es dedueix que $Z_{k}$ convergeix en distribució a una distribució ${\mathcal {N}}(0,{\tfrac {1}{4}})$. Vegeu pels detalls.

Altres propietats

Família exponencial

La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals $k-1$ i $1/\theta$, i estadístics naturals $X$ i $\ln(X)$.

Moda

Quan $k\geq 1$, la funció de densitat de la distribució $\Gamma (k,\theta )$ té un únic màxim al punt $\theta (k-1)$; és diu que aquest valor és la moda de la distribució i que la distribució és unimodal. El valor del màxim és $(k-1)^{k-1}e^{-(k-1)}/(\theta \,\Gamma (k))$, que per la fórmula de Stirling, per a valors grans de $k$ es pot aproximar per $1/{\Big (}\theta {\sqrt {2\pi (k-1)}}{\Big )}$ .

Quan $k\in (0,1)$, aleshores la densitat no està afitada, ja que, en aquest cas, $\lim _{x\to 0^{+}}f(x;k,\theta )=\infty .$

Entropía

L'entropia ve donada per

${\frac {-1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{e^{x/\theta }}}\left[(k-1)\ln x-x/\theta -k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\,dx\!$

$=-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!$

$=k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!$

on ψ(k) és la funció digamma.

Divergència Kullback-Leibler

La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α₀, β₀) (la distribució veritable) i una Γ(α, β) (la distribució que l'aproxima) ve donada per

$D_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha _{0},\beta _{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha _{0}})\beta _{0}^{\alpha _{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha _{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha _{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta _{0}}{\beta _{0}}}$

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de la distribució gamma és:

$F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}$

Estimació dels paràmetres

Màxima versemblança

La funció de versemblança per a N observacions iid $(x_{1},\ldots ,x_{N})$ és

$L(\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )\,\!$

de la qual podem calcular la log-versemblança

$\ell (\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-\sum x_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.$

L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Procedint d'aquesta manera trobem que:

${\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.\,\!$

Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dona

$\ell =(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!$

Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb què s'obté:

$\ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}\,\!$

on

$\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!$

és la funció digamma. No existeix cap fórmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numèricament (és convex), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació

$\ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!$

Si definim

$s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})},\,\!$

aleshores k és aproximadament

$k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}$

que és dins d'un 1,5% del valor correcte.

Estimador Bayesià

Si considerem que k és conegut i $\theta$ és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a $\theta$ és (assumint que la distribució a priori és proporcional a $1/\theta$)

$P(\theta |k,x_{1},...,x_{N})\propto 1/\theta \prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta ).\,\!$

Definint

$y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta |k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!$

Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres $\scriptstyle \alpha =Nk,\ \ \beta =y$.

$\int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!$

Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió

$E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!$

Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de $\theta$ és:

${\frac {y}{Nk-1}}$ +/- ${\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.$

També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.

Generació de valors d'una distribució gamma

Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment, és suficient generar una variable gamma amb β = 1 i després transformar-la a qualsevol altre valor de β amb una simple divisió.

Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar variables aleatòries exponencials, arribem a la conclusió que si U prové d'una distribució uniforme en (0, 1], aleshores -ln(U) segueix una Γ(1, 1). Emprant la propietat de què la suma de variables aleatòries gamma independents segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:

$\sum _{k=1}^{n}{-\ln U_{k}}\sim \Gamma (n,1),$

on U_k són uniformement distribuïdesen (0, 1] i independents.

Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer. Ara veurem com generar observacions d'una Γ(δ, 1) per a 0 < δ < 1, ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.

A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del mètode d'acceptació-rebuig:

1. Sigui m= 1.
2. Generar $V_{2m-1}$ i $V_{2m}$ — independents i uniformement distribuïdes a (0, 1].
3. Si $V_{2m-1}\leq v_{0}$, on $v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}$, aleshores anar a 4, altrament anar a 5.
4. Sigui $\xi _{m}=V_{2m-1}^{1/\delta },\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}$. Anar a 6.
5. Sigui $\xi _{m}=1-\ln {V_{2m-1}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}$.
6. Si $\eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}$, aleshores incrementar m i tornar a 2.
7. Assumim que $\xi =\xi _{m}$ és l'observació d'una $\Gamma (\delta ,1)$

Per resumir,

$\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),$

on [k] és la part sencera de k, i ξ ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat δ = {k} (la part fraccional de k), U_k i V_l segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.

La Llibreria científica GNU disposa de rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions, incloent la distribució Gamma.

Distribucions relacionades

Casos particulars

• Si $X\sim {\Gamma }(k=1,\theta =1/\lambda )\,$, aleshores X segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ.
• Si $X\sim {\Gamma }(k=v/2,\theta =2)\,$, aleshores X és idènticament distribuïda a una χ²(ν), la distribució khi-quadrat amb ν graus de llibertat.
• Si $k$ és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina distribució d'Erlang que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la $k$-ena "arribada" en un procés de Poisson d'una dimensió amb intensitat 1/θ.

• Si $X^{2}\sim {\Gamma }(3/2,2a^{2})\,$, aleshores X segueix una distribució de Maxwell-Boltzmann amb paràmetre a.
• $X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,$, aleshores $\mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,$

Altres

• Si X segueix una Γ(k, θ) aleshores 1/X segueix una distribució gamma inversa amb paràmetres k i θ^-1.
• Si X i Y són Γ(α, θ) i Γ(β, θ) independents, respectivament, aleshores X / (X + Y) segueix una distribució beta amb paràmetres α i β.
• Si X_i són Γ(α_i,θ) independents, aleshores el vector (X₁ / S, ..., X_n / S), on S = X₁ + ... + X_n, segueix una distribució de Dirichlet amb paràmetres α₁, ..., α_n.

Distribució gamma amb tres paràmetres

Johnson et al. introdueixen la distribució gamma amb tres paràmetres: a més dels paràmetres de forma i escala $k,\theta \in (0,\infty )$, consideren un paràmetre de posició $\gamma \in \mathbb {R}$; la distribució ve definida per la funció de densitat

$$f(x;k,\theta ,\gamma )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,(x-\gamma )^{k-1}\,e^{-(x-\gamma )/\theta },&{\text{si}}\ x>\gamma ,\\0,&{\text{si}}\ x\leq \gamma .\end{cases}}$$

Bibliografia

• Hogg, R. V. and Craig, A. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. Nova York: Macmillan, 1978. (Vegeu la secció 3.3.)
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994. ISBN 0-471-58495-9. 

• Choi, S. C: and R. Wette, R. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Gamma distribution» a MathWorld (en anglès).
• Engineering Statistics Handbook