Distribució gamma
En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ.
Caracterització[modifica]
Una variable aleatòria gamma X amb escala θ i forma k es denota
Funció de densitat de probabilitat[modifica]
La funció de probabilitat de densitat de la distribució gamma pot expressar-se en termes de la funció gamma:
En aquesta parametrització l'esperança és Alternativament, la distribució gamma pot parameteritzar-se en termes d'un paràmetre de forma i un paràmetre d'escala inversa , anomenat un paràmetre de tasa:
En la segona parametrització l'esperança és . Ambdues parametritzacions són comunes perquè qualsevol de les dues pot ésser més convenient depenent de la tasca a la que un s'enfronta. És possible una tercera parametrització, on es manté el paràmetre de forma i s'introdueix l'esperança . L'avantatge d'aquesta darrera parametrització és que és més fàcilment interpretable.
Funció de distribució[modifica]
La funció de distribució pot expressar-se en termes de la funció gamma incomplerta,
Propietats[modifica]
Moments[modifica]
- Mitjana =
- Mediana = no hi ha una expressió simple
- Moda = per , 0 altrament
- Variància =
- Asimetria =
- Curtosis =
- Entropia =
- Funció generadora de moments = for
- Funció característica =
Suma[modifica]
Si Xi segueix una distribució Γ(αi, β) per a i = 1, 2, ..., N, aleshores
assumint que totes les Xi són independents.
La distribució gamma és infinitament divisible.
Transformació d'escala[modifica]
Per a qualssevol t > 0 es compleix que tX segueix una distribució Γ(k, tθ), demonstrant que θ és un paràmetre d'escala.
Família exponencial[modifica]
La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals i , i estadístics naturals i .
Entropía[modifica]
L'entropia ve donada per
on ψ(k) és la funció digamma.
Divergència Kullback-Leibler[modifica]
La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α0, β0) (la distribució veritable) i una Γ(α, β) (la distribució que l'aproxima) ve donada per
Transformada de Laplace[modifica]
La transformada de Laplace de la distribució gamma és:
Estimació dels paràmetres[modifica]
Màxima versemblança[modifica]
La funció de versemblança per a N observacions iid és
de la qual podem calcular la log-versemblança
L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Procedint d'aquesta manera trobem que:
Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dona
Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb què s'obté:
on
és la funció digamma. No existeix cap fórmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numèricament (és convex), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació
Si definim
aleshores k és aproximadament
que és dins d'un 1,5% del valor correcte.
Estimador Bayesià[modifica]
Si considerem que k és conegut i és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a és (assumint que la distribució a priori és proporcional a )
Definint
Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres .
Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió
Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de és:
- +/-
També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.
Generant valors d'una distribució gamma[modifica]
Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment, és suficient generar una variable gamma amb β = 1 i després transformar-la a qualsevol altre valor de β amb una simple divisió.
Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar variables aleatòries exponencials, arribem a la conclusió que si U prové d'una distribució uniforme en (0, 1], aleshores -ln(U) segueix una Γ(1, 1). Emprant la propietat de què la suma de variables aleatòries gamma independents segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:
on Uk són uniformement distribuïdesen (0, 1] i independents.
Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer. Ara veurem com generar observacions d'una Γ(δ, 1) per a 0 < δ < 1, ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.
A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del mètode d'acceptació-rebuig:
- Sigui m= 1.
- Generar i — independents i uniformement distribuïdes a (0, 1].
- Si , on , aleshores anar a 4, altrament anar a 5.
- Sigui . Anar a 6.
- Sigui .
- Si , aleshores incrementar m i tornar a 2.
- Assumim que és l'observació d'una
Per resumir,
on [k] és la part sencera de k, i ξ ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat δ = {k} (la part fraccional de k), Uk i Vl segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.
La Llibreria científica GNU disposa de rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions, incloent la distribució Gamma.
Distribucions relacionades[modifica]
Casos particulars[modifica]
- Si , aleshores X segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ.
- Si , aleshores X és idènticament distribuïda a una χ²(ν), la distribució khi-quadrat amb ν graus de llibertat.
- Si és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina
distribució d'Erlang que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la -ena "arribada" en un procés de Poisson d'una dimensió amb intensitat 1/θ.
- Si , aleshores X segueix una distribució de Maxwell-Boltzmann amb paràmetre a.
- , aleshores
Altres[modifica]
- Si X segueix una Γ(k, θ) aleshores 1/X segueix una distribució gamma inversa amb paràmetres k i θ-1.
- Si X i Y són Γ(α, θ) i Γ(β, θ) independents, respectivament, aleshores X / (X + Y) segueix una distribució beta amb paràmetres α i β.
- Si Xi són Γ(αi,θ) independents, aleshores el vector (X1 / S, ..., Xn / S), on S = X1 + ... + Xn, segueix una distribució de Dirichlet amb paràmetres α1, ..., αn.
Bibliografia[modifica]
![]() |
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució gamma |
- R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (See Section 3.3.)
- Weisstein, Eric W., «Gamma distribution» a MathWorld (en anglès).
- Engineering Statistics Handbook
- S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69