Distribució gamma

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Distribució gamma.

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ.

Caracterització[modifica | modifica el codi]

Una variable aleatòria gamma X amb escala θ i forma k es denota

Funció de densitat de probabilitat[modifica | modifica el codi]

La funció de probabilitat de densitat de la distribució gamma pot expressar-se en termes de la funció gamma:

En aquesta parametrització l'esperança és Alternativament, la distribució gamma pot parameteritzar-se en termes d'un paràmetre de forma i un paràmetre d'escala inversa , anomenat un paràmetre de tasa:

En la segona parametrització l'esperança és . Ambdues parametritzacions són comunes perquè qualsevol de les dues pot ésser més convenient depenent de la tasca a la que un s'enfronta. És possible una tercera parametrització, on es manté el paràmetre de forma i s'introdueix l'esperança . L'avantatge d'aquesta darrera parametrització és que és més fàcilment interpretable.

Funció de distribució[modifica | modifica el codi]

La funció de distribució pot expressar-se en termes de la funció gamma incomplerta,

Propietats[modifica | modifica el codi]

Moments[modifica | modifica el codi]

  • Mitjana =
  • Mediana = no hi ha una expressió simple
  • Moda = per , 0 altrament
  • Variància =
  • Asimetria =
  • Curtosis =
  • Entropia =
  • Funció generadora de moments = for
  • Funció característica =

Suma[modifica | modifica el codi]

Si Xi segueix una distribució Γ(αi, β) per a i = 1, 2, ..., N, aleshores

assumint que totes les Xi són independents.

La distribució gamma és infinitament divisible.

Transformació d'escala[modifica | modifica el codi]

Per a qualssevol t > 0 es compleix que tX segueix una distribució Γ(ktθ), demonstrant que θ és un paràmetre d'escala.

Família exponencial[modifica | modifica el codi]

La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals i , i estadístics naturals i .

Entropía[modifica | modifica el codi]

L'entropia ve donada per

on ψ(k) és la funció digamma.

Divergència Kullback-Leibler[modifica | modifica el codi]

La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α0, β0) (la distribució veritable) i una Γ(α, β) (la distribució que l'aproxima) ve donada per

Transformada de Laplace[modifica | modifica el codi]

La transformada de Laplace de la distribució gamma és:

Estimació dels paràmetres[modifica | modifica el codi]

Màxima versemblança[modifica | modifica el codi]

La funció de versemblança per a N observacions iid és

de la qual podem calcular la log-versemblança

L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Procedint d'aquesta manera trobem que:

Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dóna

Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb què s'obté:

on

és la funció digamma. No existeix cap fórmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numèricament (és convex), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació

Si definim

aleshores k és aproximadament

que és dins d'un 1,5% del valor correcte.

Estimador Bayesià[modifica | modifica el codi]

Si considerem que k és conegut i és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a és (assumint que la distribució a priori és proporcional a )

Definint

Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres .

Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió

Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de és:

+/-

També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.

Generant valors d'una distribució gamma[modifica | modifica el codi]

Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment, és suficient generar una variable gamma amb β = 1 i després transformar-la a qualsevol altre valor de β amb una simple divisió.

Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar variables aleatòries exponencials, arribem a la conclusió de què si U prové d'una distribució uniforme en (0, 1], aleshores -ln(U) segueix una Γ(1, 1). Emprant la propietat de què la suma de variables aleatòries gamma independents segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:

on Uk són uniformement distribuïdesen (0, 1] i independents.

Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer. Ara veurem com generar observacions d'una Γ(δ, 1) per a 0 < δ < 1, ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.

A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del mètode d'acceptació-rebuig:

  1. Sigui m= 1.
  2. Generar i — independents i uniformement distribuïdes a (0, 1].
  3. Si , on , aleshores anar a 4, altrament anar a 5.
  4. Sigui . Anar a 6.
  5. Sigui .
  6. Si , aleshores incrementar m i tornar a 2.
  7. Assumim que és l'observació d'una

Per resumir,

on [k] és la part sencera de k, i ξ ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat δ = {k} (la part fraccional de k), Uk i Vl segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.

La Llibreria científica GNU disposa de rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions, incloent la distribució Gamma.

Distribucions relacionades[modifica | modifica el codi]

Casos particulars[modifica | modifica el codi]

  • Si , aleshores X segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ.
  • Si , aleshores X és idènticament distribuïda a una χ2(ν), la distribució khi-quadrat amb ν graus de llibertat.
  • Si és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina

distribució d'Erlang que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la -ena "arribada" en un procés de Poisson d'una dimensió amb intensitat 1/θ.

  • Si , aleshores X segueix una distribució de Maxwell-Boltzmann amb paràmetre a.
  • , aleshores

Altres[modifica | modifica el codi]

  • Si X segueix una Γ(k, θ) aleshores 1/X segueix una distribució gamma inversa amb paràmetres k i θ-1.
  • Si X i Y són Γ(α, θ) i Γ(β, θ) independents, respectivament, aleshores X / (X + Y) segueix una distribució beta amb paràmetres α i β.
  • Si Xi són Γ(αi,θ) independents, aleshores el vector (X1 / S, ..., Xn / S), on S = X1 + ... + Xn, segueix una distribució de Dirichlet amb paràmetres α1, ..., αn.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució gamma Modifica l'enllaç a Wikidata