Distribució de Tracy-Widom

Distribució de Tracy-Widom

Tipus	distribució de probabilitat contínua
Epònim	Craig Tracy i Harold Widom

La distribució de Tracy-Widom és una distribució de probabilitat de la teoria de matrius aleatòries introduïda per Craig Tracy and Harold Widom (1993, 1994). És la distribució del valor propi més gran normalitzat d'una matriu hermitiana aleatòria. La distribució es defineix com un determinant de Fredholm.

En termes pràctics, Tracy-Widom és la funció d'encreuament entre les dues fases de components acoblats feblement i fortament en un sistema. També apareix en la distribució de la longitud de la subseqüència creixent més llarga de permutacions aleatòries, com a estadístiques a gran escala a l'equació de Kardar-Parisi-Zhang, en les fluctuacions actuals del procés d'exclusió simple asimètric (ASEP) amb condició inicial de pas, i en models matemàtics simplificats del comportament del problema de subseqüència comú més llarg en entrades aleatòries. Vegeu Takeuchi & Sano (2010) i Takeuchi et al. (2011) per provar experimentalment (i verificar) que la distribució TW descriu les fluctuacions de la interfície d'una gota (o substrat) en creixement. $F_{2}$ (o $F_{1}$) tal com prediuen Prähofer & Spohn (2000).

La distribució $F_{1}$ és d'interès particular en l'estadística multivariant. Per a una discussió sobre la universalitat de $F_{\beta }$, $\beta =1,2,4$, vegeu Deift (2007). Per a una aplicació de $F_{1}$ per inferir l'estructura de la població a partir de dades genètiques, vegeu Patterson, Price & Reich (2006). L'any 2017 es va demostrar que la distribució F no és infinitament divisible.

Definició com a llei dels grans nombres

Deixar $F_{\beta }$ denoteu la funció de distribució acumulada de la distribució Tracy-Widom amb un donat $\beta$. Es pot definir com una llei dels grans nombres, similar al teorema central del límit. Normalment hi ha tres distribucions de Tracy-Widom, $F_{\beta }$, amb $\beta \in \{1,2,4\}$ . Corresponen als tres conjunts gaussians: ortogonals ($\beta =1$), unitari ($\beta =2$), i simplectiques ($\beta =4$).

En general, considereu un conjunt gaussià amb valor beta $\beta$, amb les seves entrades diagonals amb variància 1, i les entrades fora de la diagonal amb variància $\sigma ^{2}$, i deixar $F_{N,\beta }(s)$ ser probabilitat que an $N\times N$ La matriu mostrada del conjunt té un valor propi màxim $\leq s$, després definiu

$$F_{\beta }(x)=\lim _{N\to \infty }F_{N,\beta }(\sigma (2N^{1/2}+N^{-1/6}x))=\lim _{N\to \infty }Pr(N^{1/6}(\lambda _{max}/\sigma -2N^{1/2})\leq x)$$

where $\lambda _{\max }$ denotes the largest eigenvalue of the random matrix. The shift by $2\sigma N^{1/2}$ centers the distribution, since at the limit, the eigenvalue distribution converges to the semicircular distribution with radius $2\sigma N^{1/2}$. The multiplication by $N^{1/6}$ is used because the standard deviation of the distribution scales as $N^{-1/6}$.