Distribució de Gauss-Kuzmin

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Distribució de Gauss–Kuzmin
Paràmetres (cap)
Suport
fdp
FD
Mitjana
Mediana
Moda
Variància
Coeficient de simetria (indefinida)
Curtosi (indefinida)
Entropia 3.432527514776...[1][2][3]
Modifica les dades a Wikidata

En matemàtiques, la distribució de Gauss–Kuzmin és una distribució de probabilitat discreta que apareix com la distribució de probabilitat límit en una expansió en fracció contínua d'una variable aleatòria uniformement distribuïda en l'interval (0, 1).[4] La distribució duu el nom de Carl Friedrich Gauß, que la va derivar al voltant de 1800,[5] i de Rodion Kuzmin, que va donar una fita de la seva taxa de convergència l'any 1929.[6][7] La distribució ve donada per la funció de probabilitat:

Teorema de Gauss-Kuzmin[modifica]

Sigui

l'expansió en fracció contínua d'un nombre aleatori x uniformement distribuït en l'interval (0, 1). Llavors:

De manera equivalent, sigui

llavors:

tendeix a zero a mesura que n tendeix a infinit.

Taxa de convergència[modifica]

L'any 1928, Kuzmin va donar la fita:

L'any 1929, Paul Lévy[8] va millorar-la a:

Més tard, el matemàtic alemany Eduard Wirsing va demostrar[9] que, per λ=0.30366... (la constant de Gauss-Kuzmin-Wirsing), el límit

existeix per tot s en [0, 1], i la funció Ψ(s) és analítica i satisfà Ψ(0)=Ψ(1)=0. Més enllà d'aquestes, K.I. Babenko va demostrar altres fites.[10]

Referències[modifica]

  1. Blachman, N. «The continued fraction as an information source (Corresp.)». IEEE Transactions on Information Theory, 30, 4, 1984, pàg. 671–674. DOI: 10.1109/TIT.1984.1056924.
  2. Kornerup, Peter; Matula, David W. «LCF: A lexicographic binary representation of the rationals». Journal of Universal Computer Science, 1, juliol 1995, pàg. 484–503. DOI: 10.1007/978-3-642-80350-5_41.
  3. Vepstas, L. Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy), 2008. 
  4. Weisstein, Eric W., «Gauss–Kuzmin Distribution» a MathWorld (en anglès).
  5. Gauss, Johann Carl Friedrich. Werke Sammlung. 10/1, p. 552–556. 
  6. Kuzmin, R. O. «On a problem of Gauss». Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1928, pàg. 375–380.
  7. Kuzmin, R. O. «On a problem of Gauss». Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, 6, 1932, pàg. 83–89.
  8. Lévy, P. «Sur les lois de probabilité dont dépendant les quotients complets et incomplets d'une fraction continue». Bulletin de la Société Mathématique de France, 57, 1929, pàg. 178–194.
  9. Wirsing, E. «On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces». Acta Arithmetica, 24, 1974, pàg. 507–528.
  10. Babenko, K. I. «On a problem of Gauss». Soviet Math. Dokl., 19, 1978, pàg. 136–140.