De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres forma
η
>
0
{\displaystyle \eta >0\,\!}
escala
b
>
0
{\displaystyle b>0\,\!}
Suport
x
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
fdp
b
η
exp
(
η
+
b
x
−
η
e
b
x
)
{\displaystyle b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right)}
FD
1
−
exp
(
−
η
(
e
b
x
−
1
)
)
{\displaystyle 1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right)}
Esperança matemàtica
(
1
/
b
)
e
η
Ei
(
−
η
)
{\displaystyle (1/b)e^{\eta }{\text{Ei}}\left(-\eta \right)}
on Ei
(
z
)
=
∫
−
z
∞
(
e
−
v
/
v
)
d
v
{\displaystyle {\text{on Ei}}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{\infty }\left(e^{-v}/v\right)dv}
Mediana
(
1
/
b
)
ln
[
(
−
1
/
η
)
ln
(
1
/
2
)
+
1
]
{\displaystyle \left(1/b\right)\ln \left[\left(-1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}
Moda
=
(
1
/
b
)
ln
(
1
/
η
)
{\displaystyle =\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\ }
amb
0
<
F
(
x
∗
)
<
1
−
e
−
1
=
0.632121
,
0
<
η
<
1
{\displaystyle {\text{amb }}0<{\text{F}}\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1}
=
0
,
η
≥
1
{\displaystyle =0,\quad \eta \geq 1}
Variància
(
1
/
b
)
2
e
η
{
−
2
η
3
F
3
(
1
,
1
,
1
;
2
,
2
,
2
;
η
)
+
γ
2
{\displaystyle \left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\ }_{3}{\text{F}}_{3}\left(1,1,1;2,2,2;\eta \right)+\gamma ^{2}}
+
(
π
2
/
6
)
+
2
γ
ln
(
η
)
+
[
ln
(
η
)
]
2
−
e
η
[
Ei
(
−
η
)
]
2
}
{\displaystyle +\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}}
on
γ
és la constant d'Euler:
γ
=
−
ψ
(
1
)
=
0.577215...
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ on }}&\gamma {\text{ és la constant d'Euler: }}\,\!\\&\gamma =-\psi \left(1\right)={\text{0.577215... }}\end{aligned}}}
i
3
F
3
(
1
,
1
,
1
;
2
,
2
,
2
;
−
z
)
=
∑
k
=
0
∞
[
1
/
(
k
+
1
)
3
]
(
−
1
)
k
(
z
k
/
k
!
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ i }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}}
FGM
E
(
e
−
t
x
)
=
η
e
η
E
t
/
b
(
η
)
{\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tx}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}
amb E
t
/
b
(
η
)
=
∫
1
∞
e
−
η
v
v
−
t
/
b
d
v
,
t
>
0
{\displaystyle {\text{amb E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0}
En probabilitat i estadística , la distribució de Gompertz és una distribució de probabilitat contínua , anomenada després de Benjamin Gompertz . La distribució de Gompertz s'aplica sovint per descriure la distribució de la vida adulta pels demògrafs i els actuaris . Camps relacionats de la ciència com la biologia i la gerontologia també van considerar la distribució de Gompertz per a l'anàlisi de la supervivència. Més recentment, els científics informàtics també han començat a modelar les taxes de fallada del codi informàtic mitjançant la distribució de Gompertz. A Ciència del Màrqueting, s'ha utilitzat com a simulació a nivell individual per a la modelització del valor de la vida útil del client . En la teoria de xarxes , particularment el model Erdős–Rényi , la longitud de recorreguda d'una caminada aleatòria d'autoevitació (SAW) es distribueix segons la distribució de Gompertz.[1] [2]
Funció de densitat de probabilitat [ modifica ] La funció de densitat de probabilitat de la distribució de Gompertz és: [3] [4]
f
(
x
;
η
,
b
)
=
b
η
exp
(
η
+
b
x
−
η
e
b
x
)
for
x
≥
0
,
{\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}
on
b
>
0
{\displaystyle b>0\,\!}
paràmetre d'escala i
η
>
0
{\displaystyle \eta >0\,\!}
paràmetre de forma de la distribució de Gompertz. A les ciències actuarials i biològiques i a la demografia, la distribució de Gompertz es parametritza de manera lleugerament diferent (llei de mortalitat de Gompertz-Makeham ).
Funció de distribució acumulada [ modifica ] La funció de distribució acumulada de la distribució de Gompertz és:
F
(
x
;
η
,
b
)
=
1
−
exp
(
−
η
(
e
b
x
−
1
)
)
,
{\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}
on
η
,
b
>
0
,
{\displaystyle \eta ,b>0,}
x
≥
0
.
{\displaystyle x\geq 0\,.}
Distribucions discretes Distribucions discretes Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Barreja de distribució variable-contínua Distribució conjunta Direccionals Degenerada i singular Famílies
![{\displaystyle \left(1/b\right)\ln \left[\left(-1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623a5afbfea7882950bb48b5407792fa691b138f)
![{\displaystyle +\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0850883c7b5814914301c155e014ceb896b962b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ i }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2251f700724e6bdb77ddb29f270460bf21d55a)
