Distribució de Lévy envoltada

Distribució de Lévy envoltada

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució de Lévy envoltada és una distribució de probabilitat envoltada que resulta de l'"embolicament" de la distribució de Lévy al voltant del cercle unitari.

Descripció

La fdp de la distribució de Lévy embolicada és

$f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}$

on el valor del sumand es pren com a zero quan $\theta +2\pi n-\mu \leq 0$, $c$ és el factor d'escala i $\mu$ és el paràmetre d'ubicació. Expressant la fdp anterior en termes de la funció característica de la distribució de Lévy s'obté:

$f_{WL}(\theta ;\mu ,c)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-in(\theta -\mu )-{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn} {n})}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\sqrt {cn}}}\cos \left(n(\theta -\mu )-{\sqrt {cn}}\,\right)\right)$

Pel que fa a la variable circular $z=e^{i\theta }$ els moments circulars de la distribució de Lévy envoltada són la funció característica de la distribució de Lévy avaluada en arguments enters:

$\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WL}(\theta ;\mu ,c)\,d\theta =e^{in\mu -{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn}(n))}.$

on $\Gamma \,$ és un interval de longitud $2\pi$ . El primer moment és llavors el valor esperat de z, també conegut com a resultant mitjana o vector resultant mitjà:

$\langle z\rangle =e^{i\mu -{\sqrt {c}}(1-i)}$

L'angle mitjà és

$\theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu +{\sqrt {c}}$

i la longitud de la resultant mitjana és

$R=|\langle z\rangle |=e^{-{\sqrt {c}}}$