Distribució binomial

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En Teoria de la probabilitat i Estadística, una variable aleatòria es diu que té una distribució binomial de paràmetres i si representa el nombre d'èxits en repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit . Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres i .

La distribució binomial és, per les seves aplicacions, una de les distribucions discretes de probabilitat més importants, i fins i tot una de les més importants de l'estadística.

Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.


Distribució de Bernoulli[modifica]

Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment que pot donar-se amb probabilitat La realització de l'esdeveniment s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no ), la realització del qual s'anomena fracàs, per és clar que

Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.

Exemples d'experiències de Bernoulli

  1. En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A seria "treure bola blanca"
  2. En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".

Distribució binomial[modifica]

Distribució binomial
Funció de massa de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Funció de distribució acumulada
Paràmetres nombre d'assaigs (sencer)
probabilitat d'èxit (real)
Suport
FD
Mitjana
Mediana o [1]
Moda o
Variància
Coeficient de simetria
Curtosi
Entropia
FGM
FC

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment ) quan es repeteix vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.

Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.

Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:


Exemples[modifica]

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

  • Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
  • Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim
  • Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat de moure's una unitat de distància cap enrere i de moure's una unitat cap endavant. Després de moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial .

Funció de probabilitat[modifica]

Sigui una variable aleatòria binomial de paràmetres i . Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament èxits en repeticions (proves) independents de Bernouilli és:

on
és el coeficient binomial.

Així, la funció de probabilitat de és

Mitjana i Variància d'una distribució binomial [modifica]

Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que X és la suma de n variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança p. És a dir, si són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre p, aleshores
i, atès que
tindrem que
D'altra banda, per a una variable de Bernoulli,
d'on
Llavors, de la independència de , es dedueix que

Funció de distribució[modifica]


on denota la part entera de .

Exemple[modifica]

Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és

Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normal[modifica]

Si tendeix a infinit i és tal que , llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres i tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre .

D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que ) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Propietats reproductives[modifica]

Donades m variables binomials independents , i = 1, ..., m, de paràmetres i , repectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres i , és a dir,

Referències[modifica]

  1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistica & Probability Letters. 23 21-25.

Vegeu també[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució binomial