En teoria de la probabilitat i en estadística , la distribució de Benktander és una distribució de probabilitat contínua coneguda com dos tipus diferents: la distribució de Benktander de tipus I (o distribució de Benktander-Gibrat ) i la distribució de Benktander de tipus II (o distribució de Benktander Weibull ).
Aquestes lleis es va aparèixer originalment en un article de 1960 escrit per Benktander i Segerdahl. S'utilitzen principalment en l'economia .
Igual que la distribució de Pareto és una generalització de la distribució exponencial , les dues lleis de Benktander són generalitzacions d'aquesta distribució exponencial.
Si a
X
I
{\displaystyle X_{I}}
X
I
∼
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}
X
I
I
∼
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}
La distribució de Pareto és una distribució exponencial de paràmetre
log
(
x
/
x
m
)
{\displaystyle \scriptstyle \log(x/x_{m})}
x
m
{\displaystyle x_{m}}
paràmetre de posició . Apareix així un paràmetre d'escala exponencial:
e
(
x
)
:=
x
x
m
{\displaystyle e(x):={\frac {x}{x_{m}}}}
Per reflectir millor els valors empírics econòmics, es defineixen altres dos paràmetres exponencials d'escala:
{
e
I
(
x
)
=
x
a
+
2
b
log
(
x
)
per
a
>
0
i
0
≤
b
e
I
I
(
x
)
=
x
1
−
b
a
per
a
>
0
i
0
<
b
≤
1
{\displaystyle {\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\log(x)}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0<b\leq 1\end{cases}}}
Aquests dos nous paràmetres defineixen els dos tipus de distribució de Benktander.
Els dos canvis d'escala anteriors per definir les dues funcions distribució de les distribucions de Benktander de tipus I i II:.
F
I
(
x
)
=
{
1
−
x
−
1
−
a
−
b
L
o
g
[
x
]
(
1
+
2
b
L
o
g
[
x
]
a
)
per
x
≥
1
0
sinó.
{\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
F
I
I
(
x
)
=
{
1
−
e
a
b
(
1
−
x
b
)
x
b
−
1
per
x
≥
1
0
sió.
{\displaystyle F_{II}(x)={\begin{cases}1-e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-1}&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sió.}}\end{cases}}}
Per derivació s'aconsegueixen les dues densitats de les distribucions .
f
I
(
x
)
=
{
x
−
2
−
a
−
b
L
o
g
[
x
]
(
−
2
b
a
+
(
1
+
a
+
2
b
L
o
g
[
x
]
)
(
1
+
2
b
L
o
g
[
x
]
a
)
)
per
x
≥
1
0
sinó.
{\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
f
I
I
(
x
)
=
{
e
a
(
1
−
x
b
)
b
x
−
2
+
b
(
1
−
b
+
a
x
b
)
per
x
≥
1
0
sinó.
{\displaystyle f_{II}(x)={\begin{cases}e^{\tfrac {a(1-x^{b})}{b}}x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
La mitjana d'ambdós tipus són iguals a:
E
[
X
]
=
1
+
1
a
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}
Les variàncies són donades per:
V
a
r
(
X
I
)
=
−
b
+
a
e
(
−
1
+
a
)
2
4
b
π
erfc
(
−
1
+
a
2
b
)
a
2
b
{\displaystyle Var(X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+ae^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}}
i
V
a
r
(
X
I
I
)
=
−
1
a
2
+
2
e
a
b
E
(
1
−
1
b
,
a
b
)
a
b
{\displaystyle Var(X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2e^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}}
on
X
I
∼
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}
X
I
I
∼
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}
erfc és la funció d'error , i t
E
(
n
,
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {\rm {E}}(n,x)}
exponencial integral generalitzada.
Relació amb altres lleis [ modifica ]
lim
b
→
0
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
∼
P
a
r
e
t
o
(
1
,
1
+
a
)
{\displaystyle \lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)}
Benktander , G; Seherdahl , C.O. On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance (en anglès). Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries, 1960. Benktander , Gunnar. Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung [Les distribucions de pèrdua per grandàries d'assegurances dels morts ] (en alemany), p. 263–283. Kleiber , Christian; Kotz , SamuelStatistical size distributions in economics and actuarial sciences (en anglès). Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-15064-9 Distribucions discretes Distribucions discretes Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Barreja de distribució variable-contínua Distribució conjunta Direccionals Degenerada i singular Famílies
![{\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242202ac0c7e347c465a7dcc9c48f0e502a3bec)
![{\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd8f92c54f289afcfece22492e2658ea19e0fd2)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fd7ecb9a456137e2a815249360d6277bcaa0d1)
