Distribució de von Mises-Fisher

Distribució de von Mises-Fisher

Tipus	distribució conjunta i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Ronald Aylmer Fisher i Richard von Mises

En l'estadística direccional, la distribució de von Mises-Fisher (anomenada després de Richard von Mises i Ronald Fisher), és una distribució de probabilitat en el $(p-1)$ - esfera dins $\mathbb {R} ^{p}$ . Si $p=2$ la distribució es redueix a la distribució de von Mises sobre el cercle.

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució de von Mises–Fisher per al vector unitari aleatori p -dimensional $\mathbf {x}$ ve donada per:

$f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=C_{p}(\kappa )\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),$

on $\kappa \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1$ i la constant de normalització $C_{p}(\kappa )$ és igual a

$C_{p}(\kappa )={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi )^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},$

on $I_{v}$ denota la funció de Bessel modificada del primer tipus a l'ordre $v$ . Si $p=3$, la constant de normalització es redueix a

$C_{3}(\kappa )={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }}={\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e^{-\kappa })}}.$

Els paràmetres ${\boldsymbol {\mu }}$ i $\kappa$ s'anomenen paràmetres de direcció mitjana i concentració, respectivament. Com més gran sigui el valor de $\kappa$, com més gran és la concentració de la distribució al voltant de la direcció mitjana ${\boldsymbol {\mu }}$ . La distribució és unimodal per $\kappa >0$, i és uniforme a l'esfera per $\kappa =0$.

La distribució de von Mises-Fisher per $p=3$ també s'anomena distribució de Fisher. Es va utilitzar per primera vegada per modelar la interacció dels dipols elèctrics en un camp elèctric. Altres aplicacions es troben en geologia, bioinformàtica i mineria de textos.