Distribució de Cantor

Distribució de Cantor

Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	none
Suport	Conjunt de Cantor
Mitjana	1/2
Mediana	en qualsevol lloc dins de [1/3, 2/3]
Moda	n/a
Variància	1/8
Coeficient de simetria	0
Curtosi	−8/5
FGM	$e^{t/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cosh \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$
FC	$e^{it/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$

La distribució Cantor és una probabilitat sobre els nombres reals, concentrada en l'interval [0,1], que té per funció de distribució la funció de Cantor.

Aquesta funció és contínua però no absolutament contínua, amb la qual cosa la distribució de Cantor no és ni absolutament contínua respecte la mesura de Lebesgue (no té densitat) ni és discreta; és un exemple de distribució singular.

La funció de Cantor és també coneguda com l'escala del diable, encara que aquest terme té un significat més general.

Caracterització

El suport de la distribució de Cantor és el conjunt de Cantor, ell mateix la intersecció dels (infinitament comptables) conjunts:

${\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}$

La distribució de Cantor és l'única distribució de probabilitat per la qual per qualsevol C_t (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }), la probabilitat d'un interval en particular en C_t que contingui la variable aleatòria distribuïda segons Cantor és idènticament 2^−t en cadascun dels 2^t intervals.

Funció de distribució: la funció de Cantor

La funció de distribució $F$ d'aquesta distribució s'anomena funció de Cantor. És contínua però té derivada zero, $F'(x)=0$, excepte sobre un conjunt de mesura de Lebesgue 0; llavors no és absolutament contínua , és a dir, no es pot posar com la integral d'una funció (de densitat). Equivalentment, no compleix la següent condició: per a qualsevol $\varepsilon >0\quad {\text{existeix}}\quad \delta >0$ tal que que per qualsevol nombres $a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\cdots <a_{n}<b_{n}$, amb $\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta$ tenim ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\big (}F(b_{i})-F(a_{i}){\big )}<\varepsilon }$ ; per aquesta equivalència vegeu.

Moments

És fàcil d'observar per simetria que per una variable aleatòria X que tingui aquesta distribució, la seva esperança E(X) = 1/2, i que tots els moments centrals senars de X valen 0.

Es pot usar la fórmula de l'esperança total per trobar la variància var(X), com segueix. Per al conjunt superior C₁, sigui Y = 0 si X ∈ [0,1/3], i 1 si X ∈ [2/3,1]. Llavors:

${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{amb probabilitat}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{amb probabilitat}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}$

D'aquí s'obté:

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.$

Es pot trobar una expressió en forma tancada per qualsevol moment central trobant primerament els cumulants parells [1]

$\kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!$

on B_2n és el segon nombre de Bernoulli, i llavors expressant els moments com a funcions dels cumulants.

Bibliografia

• Falconer, K. J.. Geometry of Fractal Sets. Cambridge & New York: Cambridge Univ Press, 1985. 
• Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1965. 
• ; Lau, Ka Sing «Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity». Proc. A.M.S., p. 2711–2717.
• Knill, O. Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press, 2006. 
• Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, CA: WH Freeman & Co., 1982. 
• Mattilla, P. Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press, 1995. 
• Saks, Stanislaw. Theory of the Integral. Warsaw: PAN, 1933.  (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY.

Enllaços externs

• Morrison, Kent. «Random Walks with Decreasing Steps». Department of Mathematics, California Polytechnic State University, 23-07-1998. [Consulta: 16 febrer 2007].