Distribució de Cantor

Distribució de Cantor

Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	none
Suport	Conjunt de Cantor
Mitjana	1/2
Mediana	en qualsevol lloc dins de [1/3, 2/3]
Moda	n/a
Variància	1/8
Coeficient de simetria	0
Curtosi	−8/5
FGM	$e^{t/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cosh \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$
FC	$e^{it/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$

La distribució Cantor és la distribució de probabilitat la funció de distribució acumulativa de la qual és la funció de Cantor.

Aquesta distribució no té definida ni una funció de densitat de probabilitat, ni una funció de probabilitat, ja que no és absolutament contínua pel que fa a la mesura de Lebesgue, ni té tampoc masses puntuals. Per tant, no és ni una distribució probabilitat discreta ni absolutament contínua, ni és una mescla d'aquests dos tipus. Més aviat és un exemple d'una distribució singular.

La seva funció de distribució acumulada és sovint coneguda com l'escala del diable, encara que aquest terme té un significat més general.

Caracterització

El suport de la distribució de Cantor és el conjunt de Cantor, ell mateix la intersecció dels (infinitament comptables) conjunts:

${\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}$

La distribució de Cantor és l'única distribució de probabilitat per la qual per qualsevol C_t (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }), la probabilitat d'un interval en particular en C_t que contingui la variable aleatòria distribuïda segons Cantor és idènticament 2^−t en cadascun dels 2^t intervals.

Moments

És fàcil d'observar per simetria que per una variable aleatòria X que tingui aquesta distribució, la seva esperança E(X) = 1/2, i que tots els moments centrals senars de X valen 0.

Es pot usar la law of total variance|llei de la variància total per trobar la variància var(X), com segueix. Per al conjunt superior C₁, sigui Y = 0 si X ∈ [0,1/3], i 1 si X ∈ [2/3,1]. Llavors:

${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{amb probabilitat}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{amb probabilitat}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}$

D'aquí s'obté:

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.$

Es pot trobar una expressió en forma tancada per qualsevol moment central trobant primerament els cumulants parells [1]

$\kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!$

on B_2n és el segon nombre de Bernoulli, i llavors expressant els moments com a funcions dels cumulants.

Bibliografia

• Falconer, K. J.. Geometry of Fractal Sets. Cambridge & New York: Cambridge Univ Press, 1985. 
• Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1965. 
• ; Lau, Ka Sing «Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity». Proc. A.M.S., p. 2711–2717.
• Knill, O. Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press, 2006. 
• Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, CA: WH Freeman & Co., 1982. 
• Mattilla, P. Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press, 1995. 
• Saks, Stanislaw. Theory of the Integral. Warsaw: PAN, 1933.  (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY.

Enllaços externs

• Morrison, Kent. «Random Walks with Decreasing Steps». Department of Mathematics, California Polytechnic State University, 23-07-1998. [Consulta: 16 febrer 2007].