Distribució de Cantor

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Distribució de Cantor
Funció de distribució de probabilitat
Funció de distribució acumulada de la distribució de Cantor
Paràmetresnone
SuportConjunt de Cantor
Mitjana1/2
Medianaen qualsevol lloc dins de [1/3, 2/3]
Modan/a
Variància1/8
Coeficient de simetria0
Curtosi−8/5
FGM
FC

La distribució Cantor és una probabilitat sobre els nombres reals, concentrada en el conjunt de Cantor, que té per funció de distribució la funció de Cantor.

Com que la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua, la distribució de Cantor no té part absolutament contínua respecte la mesura de Lebesgue (no té densitat) ni té part discreta; és un exemple de distribució singular.

En tot aquest article, designarà una variable aleatòria amb distribució de Cantor i el conjunt de Cantor.

Definició[modifica]

La funció de Cantor és una funció no decreixent, contínua i amb i . Podem estendre-la a una funció definida en tot (utilitzem la mateixa lletra) posant si , i si . Aleshores és una funció de distribució, i per tant, determina una probabilitat a . Una variable aleatòria que tingui aquesta funció de distribució es diu que té (o segueix) una distribució de Cantor. Atès que és contínua, tindrem que per a qualsevol punt

on és el límit per l'esquerra de en el punt . Llavors, la distribució de Cantor no té part de salts.[1]

Per tindrem

Atès que la funció de Cantor compleix , per a tot , on és el conjunt de Cantor, que té mesura de Lebesgue zero, es dedueix que a distribució de Cantor no té densitat,[1] és a dir, no existeix cap funció tal que

Suport de la distribució de Cantor[modifica]

El suport de la distribució de Cantor és el conjunt de Cantor, que designarem per . És a dir, si és una variable aleatòria amb distribució de Cantor, aleshores . De fet, és el suport tancat de la distribució de Cantor: és el conjunt tancat més petit que té probabilitat 1.

Atès que el conjunt té mesura de Lebesgue zero, la distribució de Cantor és un exemple de distribució singular respecte la mesura de Lebesgue [2]

Caracterització de la distribució de Cantor[modifica]

Recordem que el conjunt de Cantor és la intersecció

on
Per a cada nivell designem per , els intervals que formen . Per exemple, per ,

Propietat. La distribució de Cantor és l'única distribució de probabilitat [3] tal que per qualsevol ,

Simetria de la distribució de Cantor[modifica]

Del fet que el gràfic de la funció de Cantor és simètric respecte el punt (1/2, 1/2) es dedueix que la distribució de Cantor és simètrica respecte del punt 1/2, o equivalentment, que si té una distribució de Cantor, llavors també.

Autosemblança de la distribució de Cantor[modifica]

Aquesta propietat  reposa en el caràcter fractal del conjunt . Diu que si seleccionem a l'atzar un dels intervals  que formen , i prenem allí un punt d'acord amb la distribució de Cantor, tornem a obtenir la distribució de Cantor. En fórmules: siguin dues variables aleatòries independents, ambdues amb distribució de Cantor, i  definim la variable aleatòria per:

Aleshores també té distribució de Cantor.[4] Noteu que . Per escriure de manera més compacta l'expressió anterior, introduïm una variable aleatòria que representi  l'elecció a l'atzar entre . Concretament,  sigui una variable tal que

independent de ; quan , elegim i quan elegim :

Escrit en una línia,
Observació. El nom autosemblança prové d'una propietat important del conjunt de Cantor,[5] i aquí en fem una versió probabilística. No s'ha de confondre amb la propietat d'autosimilitud de certs processos estocàstics.

Moments[modifica]

Atès que , tenim que , d'on té moments de tots els ordres. De fet, la distribució de Cantor està determinada pels seus moments [6]

Esperança[modifica]

Del fet que i tenen ambdues distribucions de Cantor, es dedueix que

d'on

Moment de 2n ordre i variància[modifica]

De la propietat d'autosemblança tenim

d'on, aïllant,

D'aquí s'obté:

Fórmula de recurrència pels moments[modifica]

Utilitzant la mateixa tècnica que a l'apartat anterior es pot trobar una fórmula de recurrència per als moments.[4] Escrivim

Llavors,

Així, a partir de , tenim

Expressió explicita dels moments[modifica]

Lad and Taylor [4] donen la següent expressió pel moment d'ordre  :

on la segona suma es fa sobre totes les -ples de nombres naturals més grans o iguals a 1,   tals que . A la següent taula hi ha els casos :
Alternativament, es pot trobar una fórmula pels moments a partir del càlcul dels cumulants parells [1]

on B2n és el segon nombre de Bernoulli, i llavors expressant els moments com a funcions dels cumulants.

Funció característica[modifica]

Utilitzant també la propietat d'autosemblança es pot calcular la funció característica de la distribució de Cantor:[7]

La distribució de Cantor com a límit d'una passejada aleatòria[modifica]

Considerem  una successió de variables aleatòries independents i totes amb la següent distribució:

Definim la sèrie

que convergeix absolutament q.s., ja que és una sèrie de termes positius i

Calculant la funció característica de es veu que té distribució de Cantor.[8]

Bibliografia[modifica]

  • Falconer, K. J.. Geometry of Fractal Sets. Cambridge & New York: Cambridge Univ Press, 1985. 
  • ; Lau, Ka Sing «Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity». Proc. A.M.S., p. 2711–2717.
  • Knill, O. Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press, 2006. 
  • Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, CA: WH Freeman & Co., 1982. 
  • Mattilla, P. Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press, 1995. 
  • Saks, Stanislaw. Theory of the Integral. Warsaw: PAN, 1933.  (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY.

Enllaços externs[modifica]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 Loeve, Michel.. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 177. ISBN 84-309-0663-0. 
  2. Loeve, Michel.. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 132. ISBN 84-309-0663-0. 
  3. Mattila, Pertti,. Fourier analysis and Hausdorff dimension, p. 108. ISBN 978-1-107-10735-9. 
  4. 4,0 4,1 4,2 Lad, F. R. and Taylor, F. C. R. «The moments of the Cantor distribuction». Stat. Prob. Let., Vol. 13, num. 4 (1992), pp. 307-310.
  5. Haro Provinciale, Àlex «Fractalitat, determinisme i caos en el conjunt de Cantor». Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 27, 2012, pàg. 161–175. DOI: 10.2436/20.2002.01.44. ISSN: 2013-9829.
  6. Feller, William. Introducción a la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones, Vol. II. 2a. edición. México: Editorial Limusa, 1978, p. Cap. 7, sec. 3. 
  7. Dovgoshey, O., Martio, O., Ryazanov, V., Vuorinen, M. «The Cantor function». Expo. Math., Vol. 34 (2006), pp. 1-37.
  8. Billingsley, Patrick.. Probability and measure. 2nd ed. Nova York: Wiley, 1986, p. 437. ISBN 0-471-80478-9.