Distribució de Kent

Distribució de Kent

Tipus	distribució de probabilitat
Epònim	John T. Kent, Ronald Aylmer Fisher i Christopher Bingham

Tres conjunts de punts mostrats de la distribució de Kent. Les direccions mitjanes es mostren amb fletxes. El paràmetre $\kappa \,$ és el més alt per al conjunt vermell.

En estadístiques direccionals, la distribució de cinc paràmetres de Fisher-Bingham o distribució de Kent, batejada amb el nom de Ronald Fisher, Christopher Bingham i John T. Kent, és una distribució de probabilitats en l'esfera unitat bidimensional $S^{2}\,$en $\mathbb {R} ^{3}$. És l'analogic de l'esfera unitat bidimensional de la distribució normal bivariada amb una matriu de covariància no restringida. La distribució de Kent va ser proposada per John T. Kent el 1982, i es fa servir tant en geologia com en bioinformàtica.

La funció de densitat de probabilitat $f(\mathbf {x} )\,$ de la distribució de Kent ve donada per:

$f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\cdot \mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}]\}$

on $\mathbf {x} \,$ és un vector unitat de tres dimensions, $(.)^{T}$ denota la transposició de $(.)$, i la constant normalitzadora ${\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,$ és:

$c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )$

on $I_{v}(\kappa )$ és la funció modificada de Bessel i $\Gamma (.)$ és la funció gamma. S'ha de tenir en compte que $c(0,0)=4\pi$ i $c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )$, la constant normalitzadora de la distribució de Von Mises-Fisher.

El paràmetre $\kappa \,$ (amb $\kappa >0\,$) determina la concentració o la propagació de la distribució, mentre que $\beta \,$ (amb $0\leq 2\beta <\kappa$) determina l'el·lipticitat dels contorns d'igual probabilitat. Com més grans siguin els paràmetres $\kappa \,$ i $\beta \,$, més concentrada i el·líptica serà la distribució, respectivament. El vector $\gamma _{1}\,$ és la direcció mitjana, i els vectors $\gamma _{2},\gamma _{3}\,$ són els eixos major i menor. Els dos últims vectors determinen l'orientació dels contorns de probabilitat iguals a l'esfera, mentre que el primer vector determina el centre comú dels contorns. La matriu 3 × 3 $(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})\,$ha de ser ortogonal.

Generalització a dimensions més altes

La distribució de Kent es pot generalitzar fàcilment a esferes de dimensions més altes. Si $x$ és un punt de l'esfera d'unitat $S^{p-1}$ en $\mathbb {R} ^{p}$, llavors la funció de densitat de la distribució de Kent $p$-dimensional és proporcional a:

$\exp\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\cdot \mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}\}\ ,$

on $\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0$ i $0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa$ i els vectors $\{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1\ldots p\}$ són ortonormals. Tanmateix, la constant de normalització esdevé molt difícil treballar per a $p>3$.

Bibliografia

• Boomsma, W.; Kent, J.T.; Mardia, K.V.; Taylor, C.C.; Hamelryck, T. «Graphical models and directional statistics capture protein structure» (PDF) (en anglès). Interdisciplinary Statistics and Bioinformatics. S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Walls [Leeds, Leeds University Press], 2006. Arxivat de l'original el 2021-05-07 [Consulta: 4 gener 2020].
• Kent, J. T. «The Fisher–Bingham distribution on the sphere.» (en anglès). J. Royal. Stat. Soc., 1982, pàg. 44, 71–80.
• Kent, J. T.; Hamelryck, T. «Using the Fisher–Bingham distribution in stochastic models for protein structure» (PDF) (en anglès). Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets. S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Walls (Eds.) [Leeds, Leeds University Press], 2005, pàg. 57–60. Arxivat de l'original el 2021-05-07 [Consulta: 4 gener 2020].
• Mardia, K. V. M.; Jupp, P. E.. Directional Statistics (en anglès). John Wiley and Sons Ltd., 2000. ISBN 0-471-95333-4. 
• Peel, D.; Whiten, WJ.; McLachlan, GJ. «Fitting mixtures of Kent distributions to aid in joint set identification.» (en anglès). J. Am. Stat. Ass., 2001, pàg. 96, 56-63.