Matriu ortogonal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una matriu ortogonal és una matriu quadrada a coeficients reals, tal que les seves columnes (i files) són vectors unitaris ortogonals. Això és el mateix que dir que formen una base ortonormal i, per això, alguns autors les anomenen matrius ortonormals.

Una altra manera de descriure les matrius ortogonals és que són les matrius quadrades a coeficients reals que tenen la seva matriu inversa igual a la seva matriu transposada.

Com a transformació lineal, una matriu ortogonal preserva el producte escalar i, per tant, actua com un isometria d'espais euclidians, com ara una rotació o una reflexió.

El conjunt O(n,K) de matrius n×n ortogonals a coeficients en un cos K

O(n,K)=\{ M\in GL(n,K) | M^\top M=MM^\top = I_n\}

on I és la matriu identitat n×n forma un grup anomenat grup ortogonal, que és subgrup del grup lineal GL(n,K). El subgrup del grup ortogonal amb matrius de determinant 1 s'anomena grup especial ortogonal i es denota SO(n,K). Els seus elements són rotacions vistes com a transformacions lineals.

L'anàleg als nombres complexos de les matrius ortogonals són les matrius unitàries.