Mètode de Newton

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

Història[modifica | modifica el codi]

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions el 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum el 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit el 1671.

El mètode[modifica | modifica el codi]

Suposem que la funció és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval , o sigui . I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que és la solució si .

Sigui una aproximació a la solució tal que . Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a al voltant de , tindrem:

Però com que , aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma: .

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme serà menyspreable, i que: ,

i aïllant :

,

que ha de ser una millor aproximació cap a . Anomenem a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de , que es pot escriure de la forma: , amb .

Imatge gràfica[modifica | modifica el codi]

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dóna per bona. En el cas de la gràfica, a partir de , s'anirà trobant la successió , fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de .

Observacions[modifica | modifica el codi]

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposem que es vulgui trobar un valor de la que fa que . Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és: , sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici: .

I d'aquí:

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

Algorisme[modifica | modifica el codi]

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
   x1=V: real;  /V=aproximació inicial.
   Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
   n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
   mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
      x0=x1;
      x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
      n=n-1;
   fi mentre;
   si n>0
      SORTIDA=x1;
   altrament
      SORTIDA=ERROR;
   fi si;
fi procés;

Generalització[modifica | modifica el codi]

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables .

Si designem per la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:

.

Expressió que recorda força l'anterior.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mètode de Newton Modifica l'enllaç a Wikidata