Mètode de Newton

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

Història[modifica | modifica el codi]

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions al 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum al 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit al 1671.

El mètode[modifica | modifica el codi]

Suposem que la funció f\, és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval \left[a,b\right]\,, o sigui f\in \mathcal{C}^{2}\left[a,b\right]\,. I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que \alpha\in\left[a,b\right]\, és la solució si f\left(\alpha\right)=0\,.

Sigui x_0\in\left[a,b\right]\, una aproximació a la solució \alpha \, tal que f'\left(x_0\right)\ne 0\,. Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a f\left(x\right)\, al voltant de x_0\,, tindrem: f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f^{\prime }(x)+\frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f^{\prime \prime }(\xi (x))\,

Però com que f(\alpha)=0\,, aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma: 0=f(x_{0})+(\alpha-x_{0})f^{\prime }(x)+\frac{(\alpha-x_{0})^{2}}{2}f^{\prime \prime }(\xi (\alpha))\,.

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme (\alpha-x_{0})^{2}\, serà menyspreable, i que: 0\approx f(x_0)+(\alpha-x_0)f'(x)\,,

i aïllant \alpha\,:

\alpha\approx x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\,,

que ha de ser una millor aproximació cap a \alpha\,. Anomenem x_1\, a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de x_n\,, que es pot escriure de la forma: x_n=x_{(n-1)}-\frac{f(x_{(n-1)})}{f'(x_{(n-1)})}\,, amb n\ge 1\,.

Imatge gràfica[modifica | modifica el codi]

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dóna per bona. En el cas de la gràfica, a partir de x_0\,, s'anirà trobant la successió x_1,x_2,...\,, fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de \alpha\,.

Observacions[modifica | modifica el codi]

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor x_0\, inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposem que es vulgui trobar un valor de la x\, que fa que x-\cos x=0\,. Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és: 1+\sin x\,, sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici: x_0=0.5\,.

I d'aquí:

x_1=0.5-\frac{0.5-\cos 0.5}{1+\sin 0.5}=0.75522\,

x_2=0.75522-\frac{0.75522-\cos 0.75522}{1+\sin 0.75522}=0.73914\,

x_3=0.73914-\frac{0.73914-\cos 0.73914}{1+\sin 0.73914}=0.73909\,

x_4=0.73909-\frac{0.73909-\cos 0.73909}{1+\sin 0.73909}=0.73909\,

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

Algorisme[modifica | modifica el codi]

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
   x1=V: real;  /V=aproximació inicial.
   Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
   n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
   mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
      x0=x1;
      x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
      n=n-1;
   fi mentre;
   si n>0
      SORTIDA=x1;
   altrament
      SORTIDA=ERROR;
   fi si;
fi procés;

Generalització[modifica | modifica el codi]

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables F:R^n\rightarrow R^n\,.

Si designem per \mathbf{J}(\mathbf{x})\, la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:

\mathbf{x^{k}=x^{(k-1)}-J(x^{(k-1)})^{-1}F(x^{(k-1)})}\,.

Expressió que recorda força l'anterior.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mètode de Newton Modifica l'enllaç a Wikidata