Grup (matemàtiques)

Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant.^[1]^[2]

Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup.^[3] Entre aquests es troben els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició.

Definició de grup[modifica]

Un grup és un conjunt G on hi ha definida una operació binària $*:G\times G\rightarrow G$ amb les propietats següents:

$\exists e\in G\ \ \forall a\in G\ \ a*e=e*a=a$ (existència d'element neutre)

$\forall a\in G\ \ \exists b\in G\ \ a*b=b*a=e$ (existència d'element invers)

$\forall a,b,c\in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c$ (associativitat)

Si a més G verifica la propietat addicional següent:

$\forall a,b\in G\ \ a*b=b*a$ (commutativitat)

es diu que el grup (G,*) és un grup abelià o commutatiu.^[4] Per indicar que un grup és abelià és comú notar l'operació binària pel símbol + en comptes de *.

Definició alternativa[modifica]

Es pot donar una definició alternativa de grup, que té l'avantatge que no conté existencials. Un grup és un conjunt G on hi ha definides tres operacions, una binària anomenada producte, una unària anomenada invers, i una zero-ària anomenada element neutre, notades respectivament

$(a,b)\mapsto a*b$
$a\mapsto a^{-1}$
$e\,$

i que compleixen les propietats següents:

$\forall a,b,c\in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c$
$\forall a\in G\ \ a*e=e*a=a$
$\forall a\in G\ \ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Propietats bàsiques[modifica]

De l'element $e$ de la primera propietat se'n diu element neutre. Un grup només té un element neutre, perquè si suposem que té dos elements neutres $e_{1},e_{2}$ aplicant dos cops la primera propietat tenim

e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2}

De l'element $b$ de la segona propietat se'n diu element invers de $a$ . La segona propietat afirma que cada element del grup té almenys un invers. A més tot element té com a màxim un invers, perquè si $a$ tingués dos elements inversos $b_{1},b_{2}$ llavors tindríem

b_{1}=b_{1}*e=b_{1}*(a*b_{2})=(b_{1}*a)*b_{2}=e*b_{2}=b_{2}

Com que l'element invers d'un element $a$ de G és únic el notem $a^{-1}$ . L'invers del neutre és el neutre. L'invers de l'invers d'un element és ell mateix. Amb la nostra notació:

(a^{-1})^{-1}=a

Si $a,b\in G$ llavors $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ perquè tenim

(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=e

(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=e

(posar altres propietats bàsiques)

Morfismes de grups[modifica]

Siguin $(G,*)$ i $(G',\cdot )$ dos grups amb les seves respectives operacions. Hi ha moltes maneres d'assignar a cada element de $(G,*)$ un element de $(G',\cdot )$ . De entre totes les maneres que hi ha de fer això

\phi :G\rightarrow G'

anomenarem morfismes de grups a aquelles que verifiquen un "bon comportament" respecte de les estructures de grup de cada grup. Concretament anomenarem morfismes de grups a totes les aplicacions $\phi :G\rightarrow G'$ que verifiquen:

$\forall x,y\in G\ \ \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)$

Els morfismes de grups no són aplicacions massa alocades. La idea és arribar a definir amb precisió què significa que dos grups siguin equivalents tot i no ser la mateixa cosa conjuntísticament parlant.

Primera propietat senzilla: si $e\in G$ i $e'\in G'$ són els respectius elements neutres i $\phi :G\rightarrow G'$ és morfisme llavors $\phi (e)=e'$ . Vegem-ho:

e'=\phi (e)\cdot (\phi (e))^{-1}=\phi (e*e)\cdot (\phi (e))^{-1}=\phi (e)\cdot \phi (e)\cdot \phi (e)^{-1}

=\phi (e)\cdot e'=\phi (e)

Moltes vegades aquesta propietat s'imposa en la definició de morfisme, però ja es veu que no cal.

Segona propietat senzilla: si $\phi :G\rightarrow G'$ és un morfisme de grups, llavors $\phi (a^{-1})=(\phi (a))^{-1}$ . Vegem-ho:

\phi (a)\cdot \phi (a^{-1})=\phi (a*a^{-1})=\phi (e)=e'

\phi (a^{-1})\cdot \phi (a)=\phi (a^{-1}*a)=\phi (e)=e'

Exemples de grups[modifica]

Grup simètric[modifica]

Sigui X un conjunt qualsevol, i sigui $S_{X}$ el conjunt de les aplicacions bijectives de X en X. Llavors $(S_{X},\circ )$ és un grup on $\circ$ és la composició d'aplicacions. L'element neutre n'és l'aplicació identitat, i la inversa d'una aplicació n'és l'invers en el grup. Aquest grup s'anomena grup simètric de X.

Si X és un conjunt finit de n elements llavors $S_{X}$ té n! elements.

Si $(G,*)$ és un grup qualsevol, llavors $(S_{G},\circ )$ té algun subgrup isomorf a $(G,*)$ . En altres paraules, tot grup es pot veure com a subgrup d'algun grup simètric.

Subgrups[modifica]

Direm que $G'$ és un subgrup de $G$ si $G'\subseteq G$ i $G'$ té estructura de grup amb l'operació binària * de $G$ (verifica les tres propietats de la definició de grup) i és tancat amb aquesta operació,

\forall a,b\in G'\ \ a*b\in G'

Si un grup és abelià aleshores els seus subgrups també ho són. A més tot grup conté un subgrup abelià. De fet el grup format per un sol element

G_{0}=\{e\}

sempre és un subgrup de qualsevol grup i és abelià.

Exemple de subgrup: Z(G)[modifica]

Definim Z(G) (el centre de G) com:

Z(G)=\{a\in G\ |\ \forall g\in G\ \ a*g=g*a\}

L'objectiu és veure que $Z(G)$ és un subgrup de $G$ .

Per una banda sabem que:

Z(G)\subseteq G

A més $Z(G)$ és tancat per l'operació * de $G$ , perquè si $a,b\in Z(G)$ donat un $g\in G$ qualsevol tenim

(a*b)*g=a*(b*g)=a*(g*b)=(a*g)*b=(g*a)*b=g*(a*b)

Per tant $a*b\in Z(G)$

Per veure que $Z(G)$ té estructura de grup només cal veure que el neutre hi pertany (la qual cosa és certa per la primera propietat de grup i la definició de $Z(G)$ ) i que l'invers d'un element que hi pertanyi també hi pertany. Això és dir:

a\in Z(G)\ \Rightarrow \ \ a^{-1}\in Z(G)

però ho podem justificar perquè tenim les identitats:

a^{-1}*g=a^{-1}*(g^{-1})^{-1}=(g^{-1}*a)^{-1}=(a*g^{-1})^{-1}=

=(g^{-1})^{-1}*a^{-1}=g*a^{-1}

Per com està definit és clar que $Z(G)$ és un grup abelià.

Si $Z(G)=G$ llavors resulta que $G$ és un grup abelià. El recíproc també és cert.

Subgrups relacionats amb morfismes[modifica]

Donat un morfisme de grups $\phi :G\rightarrow G'$ podem definir a $G$ i $G'$ els subgrups $\ker {\phi }\subseteq G$ i ${\textrm {Im}}\ \phi \subseteq G'$ de la següent manera:

\ker {\phi }=\{x\in G\ |\ \phi (x)=e'\}

{\textrm {Im}}\ \phi =\phi (G)=\{y\in G'\ |\ \exists x\in G,\ y=\phi (x)\}

A partir d'aquí es pot obtenir un resultat, conegut com el Primer Teorema d'Isomorfia:

{\frac {G}{\ker {\phi }}}\cong {\textrm {Im}}\ \phi

Categoria dels grups[modifica]

La categoria Grp, anomenada categoria dels grups, té per objectes els grups i per morfismes els morfismes de grups. Els isomorfismes d'aquesta categoria coincideixen amb els isomorfismes de grups.

Referències[modifica]

↑ «group | mathematics | Britannica» (en anglès). [Consulta: 6 febrer 2022].
↑ Group. MathWorld
↑ «Introduction to Groups». [Consulta: 14 febrer 2022].
↑ Gardner, Martin. «2. Las trenzas y la teoría de grupos». A: Nuevos pasatiempos matemáticos (en castellà). Alianza Editorial, p. 32. ISBN 9788491810636 [Consulta: 28 gener 2022]. «La estructura no es un grupo si no posee las cuatro siguientes características: 1. Cuando se combinan mediante la operación dos elementos del conjunto, el resultado es otro elemento del mismo conjunto [...] 2. La operación obedece a la “ley asociativa”: (a ⬭ b) ⬭ c = a ⬭ (b ⬭ c). 3. Existe un elemento e (llamado “neutro”) tal que a ⬭ e = e ⬭ a = a. 4. Para cada elemento a existe un elemento inverso a' tal que a ⬭ a' = a' ⬭ a = e. Si además de estas características, la operación obedece a la ley conmutativa (a ⬭ b = b ⬭ a), el grupo se llama conmutativo o Abeliano.»

Vegeu també[modifica]

Viccionari

[1] «group | mathematics | Britannica» (en anglès). [Consulta: 6 febrer 2022].

[2] Group. MathWorld

[3] «Introduction to Groups». [Consulta: 14 febrer 2022].

[4] Gardner, Martin. «2. Las trenzas y la teoría de grupos». A: Nuevos pasatiempos matemáticos (en castellà). Alianza Editorial, p. 32. ISBN 9788491810636 [Consulta: 28 gener 2022]. «La estructura no es un grupo si no posee las cuatro siguientes características: 1. Cuando se combinan mediante la operación dos elementos del conjunto, el resultado es otro elemento del mismo conjunto [...] 2. La operación obedece a la “ley asociativa”: (a ⬭ b) ⬭ c = a ⬭ (b ⬭ c). 3. Existe un elemento e (llamado “neutro”) tal que a ⬭ e = e ⬭ a = a. 4. Para cada elemento a existe un elemento inverso a' tal que a ⬭ a' = a' ⬭ a = e. Si además de estas características, la operación obedece a la ley conmutativa (a ⬭ b = b ⬭ a), el grupo se llama conmutativo o Abeliano.»

[1]

[2]

[3]

[4]