Element invers

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, l'invers (també anomenat simètric) d'un element x d'un conjunt proveït d'una llei de composició interna unitària, (A, *), és un element y de A tal que x * y = y * x = e, on e és l'element neutre de l'operació * en A. Diem aleshores que x és un element invertible. Quan l'operació és la suma se sol parlar d'element oposat en lloc de invers, i el representem per -x. Quan l'operació és el producte × se sol parlar de recíproc i es representa per x^{-1} o \scriptstyle {\frac{1}{x}}.

Per exemple, el recíproc (invers multiplicatiu) de 2 en el conjunt dels nombres racionals és ½ o 0,5, mentre que l'oposat (invers additiu) és -2. El recíproc i l'oposat del nombre imaginari i és -i ja que i·(-i) = 1 i i - i = 0.

Invers en un grupoide unitari[modifica | modifica el codi]

Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui x un element del grupoide unitari (A,*), i e l'element neutre de l'operació * a A.

  • Si existeix un element \overrightarrow{x}:A tal que \overrightarrow{x} * x = e, direm que x és invertible per l'esquerra i que \overrightarrow{x} és l'invers per l'esquerra de x. Un element invertible per l'esquerra és simplificable per l'esquerra.
  • Si existeix un element \overleftarrow{x}:Atal que x * \overleftarrow{x} = e, direm que x és invertible per la dreta i que \overleftarrow{x} és l'invers per la dreta de x. Un element invertible per la dreta és simplificable per la dreta.
  • Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és invertible bilateral o simplement invertible: x * \bar{x} = \bar{x} * x = e. En aquest cas el parell x i \bar{x} commuten. Un element invertible és simplificable.

Un element x pot tenir més d'un invers per l'esquerra i/o per la dreta. Noteu que, en general, si existeixen inversos per l'esquerra i per la dreta, aquests no tenen per què ser iguals: \overrightarrow{x} \neq \overleftarrow{x} . Però, si la llei de composició és associativa, aleshores l'invers per la dreta és igual a l'invers per l'esquerra, i a més a més, únic.

Invers en un semigrup[modifica | modifica el codi]

El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element x d'un semigrup (S,*) és regular si existeix un altre element y en S tal que x*y*x = x. Direm aleshores que y és un pseudoinvers de x. Direm, en canvi, que y és un invers de x si x*y*x = x i a més y = y*x*y. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.

  • Tot element regular té almenys un invers. Si x = x*z*x aleshores y = z*x*z és un invers de x en el sentit a dalt definit.
  • Si y és un invers de x, aleshores e=x*y i f=y*x són elements idempotents: e*e=e, f*f=f. Per tant, tota parella d'elements mútuament inversos genera una parella d'elements idempotents, i e*x=x*f=x, y*e=f*y=y, és a dir, e actua com a identitat per l'esquerra per a x, mentre que f actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de y. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.