Grup abelià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En una estructura algebraica sobre un conjunt A, en la qual hem definit una operació o llei de composició interna binària " \circ ", diem que presenta estructura ( A, \circ ) de grup abelià o grup commutatiu respecte a l'operació  \circ si...

  1. ( A, \circ ) té estructura algebraica de grup.
  2. ( A, \circ ) té la propietat commutativa.

Els grups abelians reben aquest nom en honor del matemàtic noruec Niels Henrik Abel, que fou qui utilitzà aquests grups en l'estudi de les equacions algebraiques solubles per radicals.[1] Els grups que no són commutatius es denominen no abelians (a també no commutatius, menys sovint).

Notació[modifica | modifica el codi]

Hi ha dues notacions principals per als grups abelians: additiva i multiplicativa:

Notació Operació Element
neutre
Potències Elements
inversos
Suma directa /
Producte directe
Addició a + b 0 na a GH
Multiplicació a * b o ab e o 1 an a−1 o 1/a G × H

La notació multiplicativa es fa servir, en general, per als grups, en canvi l'additiva s'utilitza per als mòduls. Quan només es treballa amb grups abelians, s'usa la notació additiva, com a norma general.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Qualsevol grup cíclic G és abelià, puix que si x, yG = <a>, x = am i y = an per a alguns m, n enters, com aconseqüència, xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. En particular, el grup Z d'enters, en relació a la suma, és abelià, de la mateixa manera que el grup d'enters mòdul n, Zn.

Els nombres reals formen un grup abelià amb l'addició, de la mateixa manera que els reals no nuls el formen amb la multiplicació.

Qualsevol anell és un grup abelià respecte a la seva addició. En un anell commutatiu, els elements invertibles formen un grup abelià amb la multiplicació.

Qualsevol subgrup d'un grup abelià és normal, i per tant, per a qualsevol subgrup hi ha un grup quocient. Subgrups, grups quocients, i sumes directes de grups abelians també són abelians.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Si n és un nombre natural i x un element d'un grup abelià G (en notació additiva), podem definir nx = x + x +... + x (n sumands), y (−n)x = −(nx), amb la qual cosa G esdevé un mòdul sobre l'anell Z dels enters. De fet, els mòduls sobre Z no són altres que els grups abelians.
  • Si f, g: GH són dos homomorfismes entre grups abelians, la suma (definida per (f + g)(x) = f(x) + g(x)) serà també un homomorfisme; aquest fet no s'esdevé en general per a grups no abelians. Amb aquesta operació, el conjunt d'homomorfismes entre G i H esdevé, aleshores, un grup abelià en si mateix.

Grups abelians finits[modifica | modifica el codi]

El grup \mathbb Z_n dels enters mòdul n és un grup amb l'operació de la suma mòdul n. Aquest grup és abelià i finit.
El següent resultat ens indica que els anteriors formen l'estructura bàsica de tots els conjunts abelians finits.

Teorema:[2] Qualsevol grup abelià finit G és isomorf a \mathbb Z_{p_1^{k_1}}\oplus\ldots \oplus Z_{p_r^{k_r}}, on p_1,\ldots,p_r són nombres primers i k_1,\ldots,k_r\in\mathbb N.
Els enters p_1^{k_1}, \ldots,p_r^{k_r} són únics a menys de l'orde.

Vegem-ne un parell d'exemples:

Llevat del cas d'isomorfisme, existeixen cinc grups abelians amb 16 elements.
Per fer-ho veure, observem primer que 16=24, per la qual cosa les formes de descompondre 16 com a producte de nombres naturals majors d'1 són (a menys d'ordre): 16=16, \ 16=2\times8,\ 16=2\times 2\times 4,\  16=2\times2 \times 2 \times 2 \mbox{ y } 16=4\times4.
Per tant, un grup abelià amb 16 elements és isomorf a un i a només un dels següents: \mathbb Z_{16}, \ 
\mathbb Z_8\oplus \mathbb Z_{2}, \  \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{2}\oplus\mathbb Z_2,  \ \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}\oplus \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}, \ \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{4} .

Qualsevol grup abelià d'orde 30 és isomorf a \mathbb Z_{5}\oplus \mathbb Z_{3}\oplus \mathbb Z_{2}.
Això s'esdevé perquè no hi ha cap altra manera d'escriure 30 com a producte de potències de primers que 30=2\times 3\times 5.

Una forma equivalent d'exposar el teorema anterior és aquesta:

Teorema:[2]Qualsevol grup abelià finit G és isomorf a \mathbb Z_{d_1}\oplus\ldots \oplus Z_{d_t}, on d_1,\ldots,d_t són enters majors d'1 que verifiquen d_i|d_{i+1} \ \forall i=1,\ldots, t-1. Els enters d_1, \ldots,d_t són únics.

Aquest teorema es dedueix de l'anterior a partir que \mathbb Z_m\oplus \mathbb Z_{n} és isomorf a \mathbb Z_{nm} quan n i m són coprimers.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Encyclopedia of Mathematics. «Abelian group» (en anglès).
  2. 2,0 2,1 Rotman, Joseph. «Groups II». A: Advanced modern algebra. 1 (en anglès), 2003, p. 249-269. ISBN 0130878685. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Grup
Monoide
Semigrup
Magma
Operació matemàtica
Operació interna
Associativitat
Element neutre
Element simètric