Operació binària

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una operació binària és aquella que està aplicada a dos objectes. En operar dos elements, se n’obté un tercer. Els símbols que representen les operacions binàries són diversos i sovint s'escriuen enmig dels dos elements a operar.

Formalment una operació binària en el conjunt A és una aplicació d'elements del producte cartesià A×A en A. Siguin x, y elements de A; si l'operació binària es representa amb el símbol ∗ llavors es denota la imatge del parell (x,y) per l'operació com xy.

Uns exemples comuns d’operació binària són:

Conseqüències de la definició d'operació binària[modifica | modifica el codi]

  • Com que l'operació binària és una funció només se li assigna un element anomenat resultat.
  • En agafar un element del conjunt A i realitzar-li una operació binària amb un altre element del mateix conjunt A, tots els resultats d’aquesta operació han d’estar definits; és a dir, ha d’existir un resultat per cada operació.

Propietats que poden complir[modifica | modifica el codi]

Una operació binària (A,∗) definida al conjunt A pot complir propietats com les següents:

  • Propietat associativa: Si per a qualssevol x, y, z de A es verifica que: x∗(yz) = (xy)∗z. Aquesta propietat permet estendre l'operació a més de dos operands.
  • Element neutre: És un element e de A tal que per a tot element x de A es verifica que xe = ex =x
  • Element invers: Si l'operació té element neutre e, donat un element x de A, es diu que té element invers si existeix un altre element, x′ tal que xx′ = x′x = e.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Sigui (ℕ,+):
    • Compleix la propietat associativa: a+(b+c) = (a+b)+c (Exemple: 1+(3+8) = (1+3)+8);
    • compleix la propietat commutativa: a+b = b+a (Exemple: 5+4 = 4+5);
    • el zero és el seu element neutre: 0+a = a+0 = a (Exemple: 0+7 = 7+0 = 7);
    • no té element invers.
  • Sigui M el conjunt de matrius quadrades n×n. El producte de matrius és una operació binària a M que:
    • Compleix la propietat associativa: A·(B·C) = (A·BC;
    • no compleix la propietat commutativa, A·B no és el mateix que B·A;
    • la matriu identitat I és el seu element neutre car compleix A·I = I·A = A;
    • alguns elements A de M tenen un invers A−1 tal que A·A−1 = A−1·A = I. Per tant, el conjunt de matrius quadrades invertibles n×n, forma un grup no commutatiu.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Operació binària Modifica l'enllaç a Wikidata