Matriu invertible

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que

,

on és la matriu identitat d'ordre .

Per exemple, les matrius i són inverses l'una de l'altra atès que:

La matriu inversa d', si existeix, es denota per .

Observacions[1]
  • Si existeix, la matriu inversa d'una matriu és única. Efectivament, suposem que i són matrius inverses de , aleshores:
  • No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius tals que el seu rang sigui , .
  • Si una matriu té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu , quadrada o no, tal que . En efecte:
  • Si són dues matrius invertibles, es compleix:

La construcció de la matriu que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.

Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.

Inverses generalitzades[modifica | modifica el codi]

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Llerena, Irene; Miró-Roig, Rosa Maria. Matrius i vectors. Barcelona: Universitat de Barcelona, 2010. ISBN 978-84-475-3468-5.