Matriu invertible

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que i , on és la matriu identitat d'ordre . En aquest cas, la matriu és única i es denota per .

Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular.

Exemple[modifica]

Per exemple, les següents matrius i són inverses l'una de l'altra:

, .

Propietats[1][modifica]

  • La inversa d'una matriu és única.
  • La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:
  • Si la matriu és invertible, també ho és la seva transposada, i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:
  • La inversa de la inversa d'una matriu és :
  • Una matriu definida sobre els reals és invertible si i només si el seu determinant és distint de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:

on és el determinant de la matriu A i és la Matriu d'adjunts de A.

  • El conjunt de matrius quadrades d'ordre sobre un cos que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup lineal d'ordre . En aquest grup, l'operació inversa és un automorfisme .
  • No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius tals que el seu rang sigui , .
  • Si una matriu té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu , quadrada o no, tal que . En efecte:


Inverses generalitzades[modifica]

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.

Referències[modifica]

  1. Llerena, Irene, Miró-Roig, Rosa Maria, Matrius i vectors, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.