Matriu invertible

Donada una matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$, es diu que $A$ és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu $B\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ tal que $A\cdot B=I_{n}$ i $B\cdot A=I_{n}$, on $I_{n}$ és la matriu identitat d'ordre $n$. En aquest cas, la matriu $B$ és única i es denota per $A^{-1}$.

Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular.

El producte de matrius invertibles és invertible.

Exemple

Per exemple, les següents matrius $A$ i $B$ són inverses l'una de l'altra:

$A={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$, $B={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

Propietats

• La inversa d'una matriu és única.

Demostració
Si una matriu tingués dues matrius, podríem dir que els termes intercanviant files per columnes (ij passa a ser ji) haurien de ser diferents. Això és una contradicció.

• La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:

$\left(A\cdot B\right)^{-1}={B}^{-1}\cdot {A}^{-1}$

• Si la matriu és invertible, també ho és la seva transposada, i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$

• La inversa de la inversa d'una matriu $A$ és $A$:

$\left((A^{-1})^{-1}\right)=A$

• Una matriu $A$ definida sobre els reals és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A^{T})\$

on ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ és el determinant de la matriu A i $\operatorname {adj} {(A)}\$ és la Matriu d'adjunts de A.

• El conjunt de matrius quadrades d'ordre $n$ sobre un cos $\mathbf {K}$ que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup lineal ${\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$ d'ordre $n$. En aquest grup, l'operació inversa és un automorfisme $(\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$.

• No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ tals que el seu rang sigui $n$, ${\text{rang}}(A)=n$.

• Si una matriu $A$ té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu $B\neq 0$, quadrada o no, tal que $AB=0$. En efecte:

$AB=0\Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_{n}B=B$

Inverses generalitzades

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.