Producte cartesià

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Producte cartesià entre els conjunts A= (x,y,z) i B:(1,2,3)

En teoria de conjunts, el producte cartesià és un producte directe de conjunts. En particular, el producte cartesià de dos conjunts X i Y, expressat com X × Y, és el conjunt de tots els parells ordenats en els quals els primer component pertany a X i el segon a Y.[1][2]

El producte cartesià rep el seu nom de René Descartes, qui va donar origen a aquest concepte al formular la geometria analítica. Així, per exemple, el producte cartesià del conjunt dels tretze elements de la baralla anglesa {As, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} amb el conjunt dels quatre pals {♠, ♥, ♦, ♣} és el conjunt de les 52 cartes de la baralla {(As, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (As, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Si els conjunts involucrats són conjunts finits, la cardinalitat (o nombre d'elements) del producte cartesià és el producte de les cardinalitats dels conjunts involucrats:[3]

En l'exemple anterior, el nombre d'elements del producte era 52 = 13⋅4.

Generalització finita[modifica]

El quadrat cartesià d'un conjunt X es defineix com . Un exemple d'això és l'espai euclidià de dues dimensions ℝ², on ℝ és el conjunt dels nombres reals; ℝ² és aleshores el conjunt de tots els punts (x, y) on x i y són tots dos reals.[4]

Això es pot generalitzar en un producte cartesià n-ari sobre n conjunts :

Aquest conjunt es pot identificar amb ; és un conjunt de n-ples.

De manera anàloga al quadrat cartesià, es pot usar en potències majors: ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ és l'espai euclidià tridimensional.

Teoria de categories[modifica]

En la teoria de categories, el producte cartesià no és més que el producte en la categoria de conjunts.

Referències[modifica]

  1. «Cartesian Product» (en anglès americà), 20-01-2021. [Consulta: 17 gener 2022].
  2. pensante, El. «Ejemplos de operaciones de Productos cartesianos de conjuntos – El pensante» (en castellà). [Consulta: 17 gener 2022].
  3. «✅ Producto Cartesiano y sus propiedades» (en espanyol europeu), 23-06-2018. [Consulta: 17 gener 2022].
  4. «Cartesian Product - Free Math Worksheets» (en anglès americà). [Consulta: 17 gener 2022].

Vegeu també[modifica]