Producte cartesià

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En teoria de conjunts, el producte cartesià és un producte directe de conjunts. En particular, el producte cartesià de dos conjunts X i Y, expressat com X × Y, és el conjunt de tots els parells ordenats en els quals els primer component pertany a X i el segon a Y.

El producte cartesià rep el seu nom de René Descartes, qui va donar origen a aquest concepte al formular la geometria analítica. Així, per exemple, el producte cartesià del conjunt dels tretze elements de la baralla anglesa {As, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} amb el conjunt dels quatre pals {♠, ♥, ♦, ♣} és el conjunt de les 52 cartes de la baralla {(As, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (As, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Si els conjunts involucrats són conjunts finits, la cardinalitat (o nombre d'elements) del producte cartesià és el producte de les cardinalitats dels conjunts involucrats:

card (X×Y) = (card X)⋅(card Y)

En l'exemple anterior, el nombre d'elements del producte era 52 = 13⋅4.

Generalització finita[modifica]

El quadrat cartesià d'un conjunt X es defineix com X2 = X × X. Un exemple d'això és l'espai euclidià de dues dimensions ℝ2, on ℝ és el conjunt dels nombres reals; ℝ2 és aleshores el conjunt de tots els punts (x, y) on x i y són tots dos reals.

Això es pot generalitzar en un producte cartesià n-ari sobre n conjunts X1, ..., Xn:

Aquest conjunt es pot identificar amb (X1 × ... × Xn-1) × Xn; és un conjunt de n-ples.

De manera anàloga al quadrat cartesià, es pot usar en potències majors: ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ és l'espai euclideà tridimensional.

Teoria de categories[modifica]

En la teoria de categories, el producte cartesià no és més que el producte en la categoria de conjunts.

Podeu consultar també[modifica]