Teoria de categories

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.

Definició de categoria[modifica | modifica el codi]

\mathcal{A} és una categoria si té:

1) una classe d'objectes de \mathcal{A}, anomenat {Ob(}\mathcal{A}).

2) per tot {A,B} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}, un conjunt de morfismes de A_{}^{} en B_{}^{}, anomenat {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}_{}^{}. Els seus elements {f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)} s'escriuen com {f:A}\rightarrow B

3) per tot {A,B,C,D} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}, i per tot {f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}, {g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)} es compleixen les següents propietats:

a) existeix {h}\in {Mor(A,C)} tal que h=fg:=f {\circ{}}_{\mathcal{A}}\; g, és a dir, tenim l'aplicació
\begin{matrix} {Mor(A,B) \times{} Mor(B,C)} & \longrightarrow{} & {Mor(A,C)} \\ {(f,g)} & \mapsto & {fg} \end{matrix}
b) propietat associativa en la composició, és a dir k(gf)=(kg)f_{}^{}, per tot k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}.
c) existència del morfisme identitat I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B) tal que I_B^{ \mathcal{A} }f=f i gI_B^{ \mathcal{A} }=g.