Anell commutatiu

En teoria d'anells (una branca de l'àlgebra abstracta), un anell commutatiu és un anell (R, +, ·) en què l'operació de multiplicació · és commutativa, és a dir, si per qualsevol a, b ∈ R, a · b = b · a.

Si addicionalment l'anell té un element unitari 1 tal que 1a = a = a1 per a tot a, llavors l'anell s'anomena anell commutatiu unitari.

La branca de la teoria d'anells que estudia els anells commutatius s'anomena àlgebra commutativa.

Exemples[modifica]

L'exemple més important és potser el dels nombres enters amb les operacions usuals de suma i multiplicació, ambdues commutatives. Aquest anell usualment es denota per Z , per la paraula alemanya Zahlen (nombres).
Els nombres racionals, reals, i complexos formen anells commutatius amb les operacions usuals, més encara, són camps.
Més generalment, tot camp és un anell commutatiu per definició.
El millor exemple d'un anell no commutatiu és el conjunt de matrius quadrades de 2 × 2 amb valors reals. Per exemple, la multiplicació matricial

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

Dóna un resultat diferent que si s'inverteix l'ordre dels factors:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Si n > 0 és un enter, el conjunt Z _n d'enters mòdul n forma un anell commutatiu amb n elements.
Si R és un anell commutatiu, el conjunt de polinomis de variable X amb coeficients en R forma un nou anell commutatiu, denotat per R [ X ].
El conjunt de nombres racionals de denominador imparell forma un anell commutatiu, estrictament contingut en l'anell Q dels racionals, i que conté pròpiament als i Z dels enters.

Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , S és commutatiu, i f és injectiva (és a dir, un monomorfisme), R també ha de ser commutatiu, doncs f ( a · b ) = f ( a ) · f ( b ) = f ( b ) · f ( a ) = f ( b · a ).
Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , amb R és commutatiu, la imatge f ( R ) de R serà també commutativa, en particular, si f és sobrejectiva (és a dir, un epimorfisme), S serà commutatiu també.

Els anells commutatius són més interessants quan a més a més són unitaris, és a dir, els anells commutatius unitaris.