Anell commutatiu

En teoria d'anells (una branca de l'àlgebra abstracta), un anell commutatiu és un anell (R, +, ·) en què l'operació de multiplicació · és commutativa, és a dir, si per qualsevol a, b ∈ R, a · b = b · a.

Si addicionalment l'anell té un element unitari 1 tal que 1a = a = a1 per a tot a, llavors l'anell s'anomena anell commutatiu unitari.

La branca de la teoria d'anells que estudia els anells commutatius s'anomena àlgebra commutativa.

Exemples

• L'exemple més important és potser el dels nombres enters amb les operacions usuals de suma i multiplicació, ambdues commutatives. Aquest anell usualment es denota per Z , per la paraula alemanya Zahlen (nombres).
• Els nombres racionals, reals, i complexos formen anells commutatius amb les operacions usuals, més encara, són camps.
• Més generalment, tot camp és un anell commutatiu per definició.
• El millor exemple d'un anell no commutatiu és el conjunt de matrius quadrades de 2 × 2 amb valors reals. Per exemple, la multiplicació matricial

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

Dóna un resultat diferent que si s'inverteix l'ordre dels factors:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

• Si n > 0 és un enter, el conjunt Z _n d'enters mòdul n forma un anell commutatiu amb n elements.
• Si R és un anell commutatiu, el conjunt de polinomis de variable X amb coeficients en R forma un nou anell commutatiu, denotat per R [ X ].
• El conjunt de nombres racionals de denominador imparell forma un anell commutatiu, estrictament contingut en l'anell Q dels racionals, i que conté pròpiament als i Z dels enters.

Propietats

• Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , S és commutatiu, i f és injectiva (és a dir, un monomorfisme), R també ha de ser commutatiu, doncs f ( a · b ) = f ( a ) · f ( b ) = f ( b ) · f ( a ) = f ( b · a ).
• Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , amb R és commutatiu, la imatge f ( R ) de R serà també commutativa, en particular, si f és sobrejectiva (és a dir, un epimorfisme), S serà commutatiu també.

Els anells commutatius són més interessants quan a més a més són unitaris, és a dir, els anells commutatius unitaris.