Anell commutatiu

De Viquipèdia

En teoria d'anells (una branca de l'àlgebra abstracta), un anell commutatiu és un anell (R, +, ·) en què l'operació de multiplicació · és commutativa, és a dir, si per qualsevol , .[1][2]

Si addicionalment l'anell té un element unitari 1 tal que 1a = a = a1 per a tot a, llavors l'anell s'anomena anell commutatiu unitari.[3]

La branca de la teoria d'anells que estudia els anells commutatius s'anomena àlgebra commutativa.

Exemples[modifica]

Dona un resultat diferent que si s'inverteix l'ordre dels factors:
  • Si n > 0 és un enter, el conjunt Z n d'enters mòdul n forma un anell commutatiu amb n elements.
  • Si R és un anell commutatiu, el conjunt de polinomis de variable X amb coeficients en R forma un nou anell commutatiu, denotat per .
  • El conjunt de nombres racionals de denominador imparell forma un anell commutatiu, estrictament contingut en l'anell Q dels racionals, i que conté pròpiament als i Z dels enters.

Propietats[modifica]

  • Si f : R S és un homomorfisme d'anells entre R i S , S és commutatiu, i f és injectiva (és a dir, un monomorfisme), R també ha de ser commutatiu, car .
  • Si f : R S és un homomorfisme d'anells entre R i S , amb R és commutatiu, la imatge f ( R ) de R serà també commutativa, en particular, si f és sobrejectiva (és a dir, un epimorfisme), S serà commutatiu també.

Els anells commutatius són més interessants quan a més a més són unitaris, és a dir, els anells commutatius unitaris.

Referències[modifica]

  1. «commutative ring | mathematics | Britannica» (en anglès). [Consulta: 29 gener 2022].
  2. «Commutative ring - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 29 gener 2022].
  3. 3,0 3,1 «Commutative Rings and Fields». [Consulta: 2 febrer 2022].