Anell commutatiu
Salta a la navegació
Salta a la cerca
En teoria d'anells (una branca de l'àlgebra abstracta), un anell commutatiu és un anell (R, +, ·) en què l'operació de multiplicació · és commutativa, és a dir, si per qualsevol a, b ∈ R, a · b = b · a.
Si addicionalment l'anell té un element unitari 1 tal que 1a = a = a1 per a tot a, llavors l'anell s'anomena anell commutatiu unitari.
La branca de la teoria d'anells que estudia els anells commutatius s'anomena àlgebra commutativa.
Exemples[modifica]
- L'exemple més important és potser el dels nombres enters amb les operacions usuals de suma i multiplicació, ambdues commutatives. Aquest anell usualment es denota per Z , per la paraula alemanya Zahlen (nombres).
- Els nombres racionals, reals, i complexos formen anells commutatius amb les operacions usuals, més encara, són camps.
- Més generalment, tot camp és un anell commutatiu per definició.
- El millor exemple d'un anell no commutatiu és el conjunt de matrius quadrades de 2 × 2 amb valors reals. Per exemple, la multiplicació matricial
- Dóna un resultat diferent que si s'inverteix l'ordre dels factors:
- Si n > 0 és un enter, el conjunt Z n d'enters mòdul n forma un anell commutatiu amb n elements.
- Si R és un anell commutatiu, el conjunt de polinomis de variable X amb coeficients en R forma un nou anell commutatiu, denotat per R [ X ].
- El conjunt de nombres racionals de denominador imparell forma un anell commutatiu, estrictament contingut en l'anell Q dels racionals, i que conté pròpiament als i Z dels enters.
Propietats[modifica]
- Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , S és commutatiu, i f és injectiva (és a dir, un monomorfisme), R també ha de ser commutatiu, car f ( a · b ) = f ( a ) · f ( b ) = f ( b ) · f ( a ) = f ( b · a ).
- Si f : R → S és un homomorfisme d'anells entre R i S , amb R és commutatiu, la imatge f ( R ) de R serà també commutativa, en particular, si f és sobrejectiva (és a dir, un epimorfisme), S serà commutatiu també.
Els anells commutatius són més interessants quan a més a més són unitaris, és a dir, els anells commutatius unitaris.