Anell (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un anell és una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binàries, que anomenarem suma (+) i producte (·) (tot i que no són necessàriament la suma i el producte de nombres reals habituals) i que compleixen les següents propietats:

  • (A,+) és un grup commutatiu, és a dir:
    • a+(b+c) = (a+b)+c per a tots els elements de A (associativitat).
    • Existeix un element, 0, tal que 0+a = a+0 = a per a tot a de A (element neutre).
    • Tot element a de A té un invers, −a, de manera que a+(−a) = (−a)+a = 0 (element invers).
    • a+b = b+a per a tots els elements de A (commutativitat).
  • (A,·) verifica que
    • a·(b·c) = (a·bc per a tots els elements de A (associativitat).
    • a·(b+c) = a·b+a·c i (b+ca = b·a+c·a per a tots els elements de A (propietat distributiva respecte a la suma).

Alguns autors com Bourbaki, només consideren els anells unitaris, és a dir, aquells on l'operació producte admet un element neutre denotat 1 o explícitament 1A que compleix:

  • 1⋅a = a⋅1 = a per a tot aA.

Aquests autors acostumen a anomenar pseudo-anells als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició.

Fixem-nos que, en canvi, la commutativitat del producte (a·b = b·a) no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen anells commutatius.

Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte. El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'unitats, perquè té l'estructura de grup amb el producte. Quan l'element nul (zero) és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena cos.

Morfismes d'anells[modifica | modifica el codi]

Per completar la definició de la categoria, un homomorfisme d'anells és una aplicació f entre dos anells A i B que compleix:

  • f(a+b) = f(a) + f(b),
  • f(ab) = f(a)⋅f(b),

i si hem considerat els anells com unitaris:

  • f(1A) = 1B.

Tot homomorfisme d'anells bijectiu és un isomorfisme i l'existència d'un homomorfisme entre dos anells fa que aquests es siguin isomorfs.

Exemples[modifica | modifica el codi]

El conjunt dels nombres enters és un anell commutatiu, així com els nombres racionals, els reals i els complexos; aquests tres últims són, a més a més, cossos.

Tipus d'anells[modifica | modifica el codi]

La teoria d'anells és una branca molt rica de l'àlgebra abstracta i que ha donat lloc a moltes denominacions per a diferents tipus d'anells. Entre els més comuns tenim:

En l'estudi de divisibilitat per ideals, s'utilitzen sovint els següents, que estan ordenats de manera que si l'anell és commutatiu cadascun d'ells també té les propietats dels anteriors:

Anell principal[modifica | modifica el codi]

Un anell és principal si tots els seus ideals són ideals principals.

Els exemples més comuns són, d'una banda, l'anell dels nombres enters i l'anell dels polinomis sobre un cos.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]