En matemàtiques , es diu que un operador
∘
{\displaystyle \circ }
propietat distributiva sobre un operador
⋆
{\displaystyle \star }
∘
{\displaystyle \circ }
distributiu respecte de
⋆
{\displaystyle \star }
E si per a tots x , y , z de E , es tenen les propietats següents :
x
∘
(
y
⋆
z
)
=
(
x
∘
y
)
⋆
(
x
∘
z
)
{\displaystyle x\circ (y\star z)=(x\circ y)\star (x\circ z)}
(
x
⋆
y
)
∘
z
=
(
x
∘
z
)
⋆
(
y
∘
z
)
{\displaystyle (x\star y)\circ z=(x\circ z)\star (y\circ z)}
En el conjunt R [ modifica ] Per exemple, en el conjunt
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
reals , la multiplicació és distributiva respecte de la suma (és un dels axiomes de l'estructura d'anell ):
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
,
x
×
(
y
+
z
)
=
(
x
×
y
)
+
(
x
×
z
)
{\displaystyle \forall \,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}
I igualment :
(
y
+
z
)
×
x
=
(
y
×
x
)
+
(
z
×
x
)
{\displaystyle (y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)}
Del fet de passar del producte d'un nombre per la suma d'altres dos a la suma de dos productes se’n diu 'desenvolupar' l'expressió.
Si s'escriu la identitat en l'altre sentit, llavors se’n diu treure el factor comú :
(
a
×
b
)
+
(
a
×
c
)
=
a
×
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a\times b)+(a\times c)=a\times (b+c)}
Aquí s'ha tret el factor comú a .
Exemple numèric
2
×
(
5
+
3
)
=
2
×
5
+
2
×
3
(
=
16
)
{\displaystyle 2\times (5+3)=2\times 5+2\times 3\ (=16)}
