Àlgebra commutativa

En l'àlgebra abstracta, l'àlgebra commutativa és el camp d'estudi dels anells commutatiu, els seus ideals, els seus mòduls i les seves àlgebres. És una matèria fondacional tant per a la geometria algebraica com per a la teoria de nombres algebraics. Entre els exemples destacats d'anells commutatius hi ha els anells polinòmics; els anells de nombre enters algebraics, inclosos en els enters ordinaris $\mathbb {Z}$; i els enteres p-àdics.

Es considera que l'autèntic fundador de la matèria, que en l'època es coneixia com teoria d'ideals, fou David Hilbert, que sembla que va pensar sobre aquesta qüestion (al voltant de l'any 1900) com un enfocament alternatiu de la, llavors de moda, teoria de funcions complexes. Aquest enfocament segueix certa "línia" de pensament que considera que els aspectes computationals són secundaris respecte dels estructurals. El concepte addicional del mòdul, presentat d'alguna manera en l'obra de Kronecker, és tècnicament un pas endavant si es comprara amb treballar sempre directament en el cas especial dels ideals. Aquest canvi s'atribueix a la influència d'Emmy Noether.

Donat el concepte d'esquema, l'àlgebra commutativa és pensada i entesa de forma raonable, bé com la teoria local o bé com la teoria afí de la geometria algebraica.

L'estudi dels anells que no són commutatius es coneix com a àlgebra no commutativa; inclou la teoria d'anells, la teoria de les representacions, i la teoria de les àlgebres de Banach.

Introducció

L'àlgebra commutativa és essencialment l'estudi dels anells que formen part de la teoria algebraica dels nombres i de la geometria algebraica.

En la teoria algebraica dels nombres, els anells de nombres enters algebraics són dominis de Dedekind, que constitueixen, per tant, una classe important d'anells commutatius. Les consideracions relacionades amb l'aritmètica modular han donat lloc a la noció d'un anell de valoració. La restricció d'extensions de cos algebraic a subanells han introduit les nocions d'extensions integrals i dominis integralment tancats, així com a la noció de ramificació d'una extensió d'anells de valoració.

La noció de localització d'un anell (en particular, la localització respecte d'un ideal primer, la localització que consisteix a invertir un únic element i l'anell del quocient total) és una de les principals diferències entre l'àlgebra commutativa i la teoria d'anells no commutatius. Condueix a una classe important d'anells commutatius, els anells locals que tenen un únic ideal màxim. El conjunt dels ideals principals d'un anell commutatiu està naturalment equipat amb una topologia, la topologia de Zatiski. Totes aquestes nocions són molt utilitzades en geometria algebraica i són les einte tècniques bàsiquess per a la definició de la teoria d'esquemes, una generalització de la geometria algebraica introduïda per Grothendieck.

Moltes altres nocions de l'àlgebra commutativa són contrapartides de les nocions geomètriques que es donen en la geometria algebraica. Aquest és el cas de la dimensió de Krull, de la descomposició primària, dels anells regulars, dels anells de Cohen-Macaulay, dels anells de Gorenstein, i de moltes altres nocions.

Història

La matèria, coneguda inicialment com a teoria dels ideals, va començar a ser estudiada en el treball de Richard Dedekind sobre ideals, el mateix es va basar en el treball previ de Ernst Kummer i Leopold Kronecker. Més tard, David Hilbert va introduir el terme anell per a generalitzar el terme anterior anell de nombres. En Hilbert va presentar un enfocament més abstracte per a substituir els mètodes més concrets i orientats al càlcul que es basaven en aquesta mena d'objectes com ara l'anàlisi complexa teoria dels invariants. Al seu torn, en Hilbert va influir fortament en Emmy Noether, a qui es deu gran part de l'enfocament abstracte i axiomàtic de la matèria. Una altra fita important va ser el treball de l'alumne de Hilbert Emanuel Lasker, que va presentar els ideals primers i va demostrar la primera versió del teorema de Lasker–Noether.

La principal figura responsable del naixement de l'àlgebra commutativa com a matèria madura va ser Wolfgang Krull, que va introduir nocions fonamentals de localització i compleció d'un anell, així com el d'anells locals regulars. Va establir el concepte de dimensió de Krull d'un anell, primer per als anells noetherians abans d'expandir la seva teoria per a cobrir els anells de valoració i els anells de Krull. Fins a dia d'avui, es considera àmpliament el teorema ideal principal de Krull com el teorema fonamental més important de l'àlgebra commutativa. Aquests resultats van aplanar el camí per a la introducció de l'àlgebra commutativa en la geometria algebraica, una idea que va revolucionar aquesta darrera matèria.

Gran part del desenvolupament modern de l'àlgebra commutativa es basa en els mòduls. Tant els ideals d'un anell A com les A-àlgebres són casos particulars d'A-mòduls, per això la teoria dels mòduls inclou tant la teoria dels ideals com la teoria de les extensions dels anells. Encara que ja incipient en el treball de Kronecker l'enfocament modern de l'àlgebra commutativa fent servir la teoria dels mòduls s'atribueix normalment a Emmy Noether.

Vegeu també

• Llista de temes d'àlgebra commutativa
• Àlgebra commutativa combinacional
• Base de Gröbner
• Àlgebra homològica

Referències

• Michael Atiyah & Ian G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

Enllaços externs

• List of Commutative Algebraists
• The Commutative Algebra Community