Teoria d'anells

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En àlgebra abstracta, la teoria d'anells és l'estudi de les estructures d'anells algebraiques en la qual la suma i la multiplicació són definides i tenen propietats similars a les operacions definides per als enters. La teoria de l’anell estudia l'estructura dels anells, les seves representacions, o, en un altre idioma, mòduls, classes especials d'anells (anells de grup, anells de divisió, àlgebres envoltants universals), així com una sèrie de propietats que va resultar ser d'interès tant per la teoria, com per les seves aplicacions, com ara les propietats homològiques i identitats polinòmiques. 

Els anells commutatius són més ben entessos que els no commutatius. La geometria algebraica i la teoria algebraica de nombres, que proporcionen molts exemples naturals d'anells commutatius, han impulsat gran part del desenvolupament de la teoria de l'anell commutatiu, que ara, sota el nom d'àlgebra commutativa, que és ara una àrea important de la matemàtica moderna. Com que aquests tres camps (geometria algebraica, teoria algebraica de nombres i àlgebra commutativa) estan tan íntimament relacionats, en general és difícil i no té cap sentit decidir a quin camp un resultat particular pertany. Per exemple, El Teorema dels zeros de Hilbert és un teorema que és fonamental per a la geometria algebraica, i es va afirmar i demostrar en termes de l'àlgebra commutativa. De la mateixa manera, l'últim teorema de Fermat s'expressa en termes de l'aritmètica elemental, que és una part de l'àlgebra commutativa, però la seva prova implica resultats profunds de la teoria algebraica de nombres i la geometria algebraica.

Els anells no commutatius són força diferents en sabor, ja que pot sorgir un comportament més inusual. Mentre que la teoria ha desenvolupat en el seu propi dret, una tendència bastant recent ha buscat en paral·lel al desenvolupament commutatiu mitjançant la construcció de la teoria de certes classes d'anells no commutatius en una forma geomètrica com si fossin anells de funcions en (inexistent) 'espais no commutatius'. Aquesta tendència es va iniciar en la dècada de 1980 amb el desenvolupament de la geometria no commutativa i amb el descobriment de grups quàntics. Ha donat lloc a una millor comprensió dels anells no commutatius, anells noetherians especialment no commutatius. (Goodearl 1.989)

Per a les definicions d'un anell i dels conceptes bàsics i les propietats, consulteu l’anell (matemàtiques). Les definicions dels termes utilitzats en la teoria d'anells es poden trobar al glossari de la teoria d'anells.

Anells commutatius[modifica]

Un anell es diu commutatiu si la seva multiplicació és commutativa. Els anells commutatius s'assemblen a sistemes numèrics familiars i a diverses definicions per a anells commutatius que estan dissenyats per formalitzar propietats dels nombres enters. Els anells commutatius també són importants en la geometria algebraica. En la teoria de l’anell commutatiu, els assaig són sovint reemplaçats pels ideals, i la definició de l'ideal primer tracta de captar l'essència dels nombres primers. Els dominis integrals, els anells commutatius no trivials, on no hi ha dos elements diferents de zero es multipliquen per donar zero, per generalitzar una altra propietat dels nombres enters i per servir com l'àmbit adequat per estudiar la divisibilitat. Els dominis d'ideals principals són dominis d'integritat en el qual cada ideal pot ser generat per un sol element, una altra propietat compartida pels nombres enters. Els dominis euclidians són dominis integrals en què l'algoritme d'Euclides es pot dur a terme. Exemples importants d'anells commutatius poden ser construïts com anells de polinomis i els seus anells de factors. Resum: domini euclidià => domini d'ideals principals => domini de factorització única => domini d'integritat => anell commutatiu.

Geometria algebraica[modifica]

La geometria algebraica és en molts sentits la imatge especular de l'àlgebra commutativa. Un esquema es construeix per pujar anells en algun sentit. Alexander Grothendieck va donar les definicions decisives dels objectes utilitzats en la geometria algebraica. Va definir l'espectre d'un anell commutatiu com l'espai d'ideals primers amb topologia de Zariski, però augmenta amb una garba dels anells: per a cada conjunt Zariski-obert assigna un anell commutatiu, considerat com l'anell de "funcions polinòmiques" definit en aquest conjunt. Aquests objectes són els "esquemes afins"; un esquema general que s'obté llavors "pegant" diversos d’aquests esquemes afins, en analogia amb el fet que les varietats generals es poden obtenir enganxant varietats.

Anells no commutatius[modifica]

Els anells no commutatius semblen anells de matrius en molts aspectes. Seguint el model de la geometria algebraica, recentment s'han fet intents per definir la geometria no commutativa basant-se en els anells no commutatius. Els anells no commutatius i les àlgebres associatives (anells que també són espais vectorials) s'estudien sovint a través de les seves categories de mòduls. Un mòdul sobre un anell és un grup abelià que l'anell actua com un anell d'endomorfismes, molt semblant a la manera que els camps de vies (dominis d'integritat en què cada element diferent de zero és invertible) actuen en els espais vectorials. Els exemples d'anells no commutatius es donen per anells de matrius quadrades o més generalment per anells d'endomorfismes de grups abelians o mòduls, i per anells monoide.

Teoria de representació[modifica]

La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que es basa en gran manera dels anells no commutatius. Estudia les estructures algebraiques abstractes mitjançant la representació dels seus elements com transformacions lineals d'espais vectorials i mòduls d'estudis sobre aquestes estructures algebraiques abstractes. En essència, una representació algebraica fa que un objecte abstracte sigui més concret mitjançant la descripció dels seus elements de matrius i les operacions algebraiques en termes de la suma de matrius i multiplicació de la matriu, que és no commutatiu. Els objectes algebraics susceptibles de tal descripció inclou grups, les àlgebres associatives i àlgebres de Lie. La més prominent d'aquests (i històricament el primer) és la teoria de la representació dels grups, en els quals elements d'un grup estan representats per matrius invertibles de manera que l'operació del grup és la multiplicació de matrius.

Història[modifica]

La teoria d'anells commutativa es va originar en la teoria algebraica de nombres, la geometria algebraica i la teoria d'invariants. El fonamental per al desenvolupament d'aquests temes van ser els anells d'enters en camps de nombres algebraics i camps de funcions algebraiques, i els anells de polinomis en dues o més variables. La teoria de l'anell no commutatiu va començar amb intents d'estendre els nombres complexos a diversos sistemes numèrics hipercomplexos. La gènesi de la teoria d'anells commutatius i no commutatius es remunta a principis del segle XIX, mentre que el seu venciment només es va aconseguir en la tercera dècada del segle XX.

Més precisament, William Rowan Hamilton va posar endavant els quaternions i biquaternions; James Cockle va presentar nombres bicomplexos i quaternions companys; i William Kingdon Clifford era un entusiasta de “split biquaternions”, que ell va anomenar motors algebraics. Aquestes àlgebres no commutatives i les àlgebres de Lie no associatives, van ser estudiades en l’àlgebra universal abans que el tema es dividís en determinats tipus d'estructures matemàtiques. Un senyal de reorganització va ser l'ús de sumes directes per descriure l'estructura algebraica.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teoria d'anells Modifica l'enllaç a Wikidata