Polinomi irreductible

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En Teoria d'Anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) amb coeficients en un domini íntegre (és a dir, ) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que . En altres paraules, si llavors ha de ser o (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant).

Això és un cas particular d'element irreductible en un domini íntegre.

El domini íntegre R pot, entre altres, ser el conjunt dels nombres reals (que és domini íntegre per ésser cos), el conjunt dels nombres complexos (també cos), el conjunt dels nombres racionals (cos també) o el conjunt dels nombres enters (que no és cos però si domini íntegre).

Exemples[modifica]

Els cinc polinomis següents demostren algunes característiques elementals dels polinomis reduibles i irreduibles:

,
,
,
,
.

Sobre l'anell de nombres enters, els primers dos polinomis són reductibles, però els tres últims són irreductibles (el tercer no té coeficients del nombre sencer).

Sobre el cos de nombres racionals, els primers tres polinomis són reductibles, però els altres dos són irreductibles.

Sobre el cos de nombres reals, els primers quatre polinomis són reductibles, però el cinquè segueix sent irreductible.

Sobre el cos de nombres complexos, els cinc polinomis són reductibles.

De fet en , cada polinomi no-constant se pot descompondre en factores lineals

on és el coeficient principal del polinomi i són els zeros de . Per tant, tots els polinomis irreductibles són de grau 1. En el caso del cos , tampoc poden ser reductibles aquells polinomis de grau 2 amb discriminant negatiu, ja que a pesar de ser factoritzat per polinomis de menor grau que aquest, i major o igual a 0, no tenen els seus coeficients dins del cos dels reals. Aquest és el teorema fonamental de l'àlgebra.


Un polinomi irreductible és polinomi primitiu si i només si

p és primer

i x és un element d'ordre

Per a provar si un polinomi és irreductible es poden aplicar diversos criteris, entre els quals es troben el criteri d'Eisenstein o el criteri de reducció.

Vegeu també[modifica]