De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Un A -mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià . Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.
A-mòduls per l'esquerra [ modifica ]
Sigui
A
{\displaystyle A\,}
un anell i
M
{\displaystyle M\,}
un grup abelià. El grup
M
{\displaystyle M\,}
té estructura de
A
{\displaystyle A}
-mòdul per l'esquerra si l'anell
A
{\displaystyle A\,}
opera linealment per l'esquerra sobre els elements de
M
{\displaystyle M\,}
, és a dir, si hi ha una operació externa de
A
{\displaystyle A\,}
sobre
M
{\displaystyle M\,}
:
A
×
M
⟶
M
(
λ
,
x
)
⟼
λ
x
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times M&\longrightarrow &M\\(\lambda ,x)&\longmapsto &\lambda x\\\end{array}}}
amb les condicions de linealitat
λ
(
x
+
y
)
=
λ
x
+
λ
y
{\displaystyle \lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y\,}
(
λ
+
μ
)
x
=
λ
x
+
μ
x
{\displaystyle (\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\,}
(
λ
μ
)
x
=
λ
(
μ
x
)
{\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}
per a
λ
,
μ
∈
A
{\displaystyle \lambda ,\mu \in A}
i
x
,
y
∈
M
{\displaystyle x,y\in M}
. Si, a més, l'anell té unitat , es demana que
1
x
=
x
{\displaystyle 1x=x\,}
A-mòduls per la dreta [ modifica ]
Si l'operació externa és per la dreta,
M
×
A
⟶
M
(
x
,
λ
)
⟼
x
λ
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}M\times A&\longrightarrow &M\\(x,\lambda )&\longmapsto &x\lambda \\\end{array}}}
amb les corresponents condicions de linealitat:
(
x
+
y
)
λ
=
x
λ
+
y
λ
{\displaystyle (x+y)\lambda =x\lambda +y\lambda \,}
x
(
λ
+
μ
)
=
x
λ
+
x
μ
{\displaystyle x(\lambda +\mu )=x\lambda +x\mu \,}
x
(
λ
μ
)
=
(
x
λ
)
μ
{\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}
aleshores es tracta d'un
A
{\displaystyle A}
-mòdul per la dreta .
A-mòduls bilàters [ modifica ]
Si l'anell
A
{\displaystyle A}
és commutatiu , aleshores és possible la identificació
λ
x
=
x
λ
{\displaystyle \lambda x=x\lambda }
, perquè les condicions
(
λ
μ
)
x
=
λ
(
μ
x
)
{\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}
i
x
(
λ
μ
)
=
(
x
λ
)
μ
{\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}
ja no són contradictòries. Aleshores
M
{\displaystyle M}
té estructura de
A
{\displaystyle A}
-mòdul bilàter o, simplement, d'
A
{\displaystyle A}
-mòdul . El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un
A
{\displaystyle A}
-mòdul per l'esquerra.
Si
A
{\displaystyle A}
és un anell, ell mateix es pot considerar com a
A
{\displaystyle A}
-mòdul de manera natural:
A
×
A
⟶
A
(
x
,
y
)
⟼
x
y
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times A&\longrightarrow &A\\(x,y)&\longmapsto &xy\\\end{array}}}
Els grups commutatius són
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
-mòduls. En efecte, si
G
{\displaystyle G}
és un grup commutatiu (notació additiva) i
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
, l'operació externa de
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
sobre
G
{\displaystyle G}
donada per:
Z
×
G
⟶
G
(
n
,
g
)
⟼
{
g
+
g
+
⋯
+
g
⏞
n
,
si
n
>
0
0
,
si
n
=
0
−
(
g
+
g
+
⋯
+
g
⏞
n
)
,
si
n
<
0
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {Z} \times G&\longrightarrow &G\\(n,g)&\longmapsto &{\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n},{\mbox{ si }}n>0\\0,{\mbox{ si }}n=0\\-(\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n}),{\mbox{ si }}n<0\end{cases}}\\\end{array}}}
dota el grup
G
{\displaystyle G}
d'una estructura de
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
-mòdul.
Els espais vectorials sobre un cos
K
{\displaystyle K}
són
K
{\displaystyle K}
-mòduls.
Si
Hom
A
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}
és l'anell d'endomorfismes d'un
A
{\displaystyle A}
-mòdul
M
{\displaystyle M}
, l'operació externa
Hom
A
(
E
)
×
M
⟶
M
(
φ
,
x
)
⟼
φ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Hom} _{A}(E)\times M&\longrightarrow &M\\(\varphi ,x)&\longmapsto &\varphi (x)\\\end{array}}}
fa que
M
{\displaystyle M}
es pugui considerar un
Hom
A
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}
-mòdul.
Si
A
{\displaystyle A}
és un anell i
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}
n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}
, amb l'operació
A
×
a
⟶
a
(
x
,
a
)
⟼
x
a
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times {\mathfrak {a}}&\longrightarrow &{\mathfrak {a}}\\(x,a)&\longmapsto &xa\\\end{array}}}
és un
A
{\displaystyle A}
-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot
a
∈
a
{\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}
i tot
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
, el producte
x
a
{\displaystyle xa}
pertany a
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}
.
Viccionari