Mòdul

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article tracta sobre l'estructura algebraica. Vegeu-ne altres significats a «mòdul d'un vector».

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la què el cos d'escalars es restringeix a un anell.

A-mòduls per l'esquerra[modifica | modifica el codi]

Sigui A\, un anell i M\, un grup abelià. El grup M\, té estructura de A-mòdul per l'esquerra si l'anell A\, opera linealment per l'esquerra sobre els elements de M\,, és a dir, si hi ha una operació externa de A\, sobre M\,:

\begin{array}[c]{ccc}
A \times M & \longrightarrow & M \\
(\lambda, x) & \longmapsto & \lambda x \\
\end{array}

amb les condicions de linealitat

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \,
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x \,
(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,

per a \lambda, \mu \in A i x, y \in M. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

1 x = x\,

A-mòduls per la dreta[modifica | modifica el codi]

Si l'operació externa és per la dreta,

\begin{array}[c]{ccc}
M \times A & \longrightarrow & M \\
(x, \lambda) & \longmapsto & x \lambda \\
\end{array}

amb les corresponents condicions de linealitat:

(x + y) \lambda = x \lambda + y \lambda \,
x (\lambda + \mu) = x \lambda + x \mu \,
x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,

aleshores es tracta d'un A-mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters[modifica | modifica el codi]

Si l'anell A és commutatiu, aleshores és possible la identificació \lambda x = x \lambda, perquè les condicions (\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\, i x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \, ja no són contradictòries. Aleshores M té estructura de A-mòdul bilàter o, simplement, d'A-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un A-mòdul per l'esquerra.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Si A és un anell, ell mateix es pot considerar com a A-mòdul de manera natural:
\begin{array}[c]{ccc}
A \times A & \longrightarrow & A \\
(x, y) & \longmapsto & xy \\
\end{array}
  • Els grups commutatius són \mathbb{Z}-mòduls. En efecte, si G és un grup commutatiu (notació aditiva) i n \in \mathbb{Z}, l'operació externa de \mathbb{Z} sobre G donada per:
\begin{array}[c]{ccc}
\mathbb{Z} \times G & \longrightarrow & G \\
(n, g) & \longmapsto & 
\begin{cases}
\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}, \mbox{ si } n > 0 \\
0, \mbox{ si } n = 0 \\
-(\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{-n}), \mbox{ si } n < 0
\end{cases}
\\
\end{array}
dota al grup G d'una estructura de \mathbb{Z}-mòdul.
  • Els espais vectorials sobre un cos K són K-mòduls.
  • Si \operatorname{Hom}_{A}(E) és l'anell d'endomorfismes d'un A-mòdul M, l'operació externa
\begin{array}[c]{ccc}
\operatorname{Hom}_A(E) \times M & \longrightarrow & M \\
(\varphi, x) & \longmapsto & \varphi(x) \\
\end{array}
fa que M es pugui considerar un \operatorname{Hom}_{A}(E)-mòdul.
  • Si A és un anell i \mathfrak{a}\, n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi \mathfrak{a}\,, amb l'operació
\begin{array}[c]{ccc}
A \times \mathfrak{a} & \longrightarrow & \mathfrak{a} \\
(x, a) & \longmapsto & xa \\
\end{array}
és un A-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot a \in \mathfrak{a} i tot x \in A, el producte xa pertany a \mathfrak{a}\,.