Funció injectiva

De Viquipèdia
Exemple de funció injectiva.
Exemple de funció no injectiva, l'element C de la imatge té dues antiimatges (3 i 4).

En matemàtiques es diu que una funció és injectiva quan cada imatge de la funció (cada element del conjunt recorregut) es correspon a una antiimatge diferent del conjunt de sortida (el domini).[1] És a dir, quan no existeix cap imatge que tingui associada més d'una antiimatge del domini. De forma gràfica, en el cas de funcions reals d'una sola variable, s'acostuma a dir que una funció és injectiva quan la seva gràfica no es talla en més d'un punt per qualsevol recta paral·lela a l'eix X.[2][3]

Aquelles funcions injectives que també són suprajectives s'anomenen bijeccions.[4][5]

Definició formal[modifica]

Sigui f : XY una aplicació, es diu que f és injectiva si i només si per a qualsevol , si aleshores o, cosa que és el mateix, si el fet que implica que necessàriament .

Funcions invertibles[modifica]

També es poden definir les funcions injectives com aquelles funcions per a les quals es poden desfer els canvis que provoquen. Així doncs, si f : XY és una aplicació injectiva aleshores existeix una altra funció g : YX tal que per a tot valor x del conjunt X, és a dir que la funció composició gf és igual a la funció identitat del conjunt X.

Tingueu en compte que aquesta funció g pot no ser la funció inversa completa de f, perquè la composició en el sentit contrari fg pot no ser la identitat de Y.

En realitat però, convertir una funció f : XY injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada Y pel seu vertader recorregut I=f(X). És a dir, sigui fb : X → I tal que per a tot x del domini X es compleixi que fb(x)=f(x), tindrem que la funció fb és bijectiva.

Referències[modifica]

  1. «Función inyectiva | Qué es, definición, propiedades, ejemplos, aplicaciones» (en espanyol europeu), 13-07-2018. [Consulta: 17 gener 2022].
  2. «Función inyectiva. Ejemplos. Función sobreyectiva o suprayectiva. Ejemplos. Función biyectiva. Ejemplos.». [Consulta: 17 gener 2022].
  3. «Injective, Surjective and Bijective». [Consulta: 17 gener 2022].
  4. Injection. MathWorld. (anglès)
  5. «Injective Function - Definition, Formula, Examples» (en anglès). [Consulta: 17 gener 2022].

Vegeu també[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció injectiva